(15 pontos) Seja V o conjunto dos números reais e considere as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
\begin{gathered} \vec{x} \bigoplus \vec{y}=x+y-1 \\\ \beta \odot \vec{x}=\beta \cdot x+(1-\beta) \end{gathered}
Calcule 0 \odot \overrightarrow{2}

Passo 1

O enunciado dá as operações em V=\mathbb{R} (os vetores são números reais) e pede um cálculo específico. Informações fornecidas:
  • Para quaisquer \vec{x},\vec{y}\in V vale \vec{x}\bigoplus\vec{y}=x+y-1.
  • Para qualquer escalar \beta\in\mathbb{R} e \vec{x}\in V vale \beta\odot\vec{x}=\beta\cdot x+(1-\beta).
    O que se pede calcular é 0\odot\overrightarrow{2}.

Passo 2

Entendendo a fórmula de multiplicação por escalar: a expressão \beta\odot\vec{x}=\beta\cdot x+(1-\beta) significa que, para um escalar \beta e um vetor \vec{x} cujo componente numérico é x, o resultado da multiplicação por escalar é o número obtido multiplicando \beta por x e somando 1-\beta. Aqui:
  • \beta é o escalar que vamos aplicar;
  • \vec{x} é o vetor (aqui um número real) cujo valor numérico é x.

Passo 3

Identificar os valores a substituir:
  • O escalar é \beta=0.
  • O vetor é \vec{x}=\overrightarrow{2}, cujo valor numérico é x=2.
Substituindo na fórmula:
0\odot\overrightarrow{2}=0\cdot 2+(1-0)

Passo 4

Fazer as contas passo a passo:
  • Calcular 0\cdot 2: 0\cdot 2=0
  • Calcular 1-0: 1-0=1
  • Somar os resultados: 0+1=1

Passo 5

Interpretação curta (útil para a prova): o resultado 1 é o elemento de V obtido pela multiplicação por escalar segundo a operação dada. Note que, com essa definição, 0\odot\vec{x} não dá necessariamente o elemento neutro usual 0 do espaço, mas sim 1 neste caso específico para x=2.

Resposta

1

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