(15 pontos) Seja
o conjunto dos números reais e considere as seguintes operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as operações em
(os vetores são números reais) e pede um cálculo específico. Informações fornecidas:
- Para quaisquer
vale . - Para qualquer escalar
e vale .
O que se pede calcular é.
Passo 2
Entendendo a fórmula de multiplicação por escalar: a expressão
significa que, para um escalar
e um vetor
cujo componente numérico é
, o resultado da multiplicação por escalar é o número obtido multiplicando
por
e somando
. Aqui:
-
é o escalar que vamos aplicar; -
é o vetor (aqui um número real) cujo valor numérico é .
Passo 3
Identificar os valores a substituir:
- O escalar é
. - O vetor é
, cujo valor numérico é .
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Fazer as contas passo a passo:
- Calcular
: - Calcular
: - Somar os resultados:
Passo 5
Interpretação curta (útil para a prova): o resultado
é o elemento de
obtido pela multiplicação por escalar segundo a operação dada. Note que, com essa definição,
não dá necessariamente o elemento neutro usual
do espaço, mas sim
neste caso específico para
.