( 15 pontos) Sendo A=[llla1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3] e det A=-4, encontre o valor do determinante da matriz B=[rrrb1+4 c1 & b2+4 c2 & b3+4 c3 c1 & c2 & c3 a1 & a2 & a3]. Explicite os passos da solução.

Passo 1

O enunciado dá
A = a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ,
com det A = -4, e pede det B para
B = b1 + 4c1 & b2 + 4c2 & b3 + 4c3 c1 & c2 & c3 a1 & a2 & a3
O conteúdo usado será a propriedade de permutações de linhas no determinante e a operação elementar de adicionar múltiplo de uma linha a outra.

Passo 2

Definimos
M = b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 a1 & a2 & a3 ,
que se obtém de A pela permutação cíclica das linhas (1to2to3to1). Esse ciclo de comprimento 3 tem sinal +1, logo
det M = +1cdot det A = -4

Passo 3

A matriz B difere de M apenas porque sua primeira linha é
linha1(B) = linha1(M) + 4cdotlinha2(M)
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante, portanto
det B = det M = -4

Resposta

-4

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