Determine o gradiente dos campos escalares abaixo:
v=e^-z sen(2 x) cosh (y)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar
v(x,y,z) = e^-z,sin(2x),cosh(y)
Para isso vamos usar o conceito de gradiente:
nabla v = (partial vpartial x, partial vpartial y, partial vpartial z),
calculando cada derivada parcial via regra do produto e cadeia.

Passo 2

Cálculo de partial vpartial x:
tratando e^-z e cosh(y) como constantes em relação a x e aplicando a regra da cadeia em sin(2x), temos
partial vpartial x = e^-z,cosh(y),ddxl[sin(2x)r] = e^-z,cosh(y)cdot 2cos(2x) = 2,e^-z,cos(2x),cosh(y)

Passo 3

Cálculo de partial vpartial y:
tratando e^-z e sin(2x) como constantes em relação a y e usando que tfracddycosh(y)=sinh(y), resulta
partial vpartial y = e^-z,sin(2x),sinh(y)

Passo 4

Cálculo de partial vpartial z:
tratando sin(2x) e cosh(y) como constantes em relação a z e aplicando tfracddze^-z=-e^-z, obtemos
partial vpartial z = -,e^-z,sin(2x),cosh(y)

Passo 5

Reunindo as derivadas parciais, o gradiente fica
nabla v = l(2,e^-zcos(2x)cosh(y),;e^-zsin(2x)sinh(y),;-e^-zsin(2x)cosh(y)r)

Resposta

nabla v = l(2,e^-zcos(2x)cosh(y),;e^-zsin(2x)sinh(y),;-e^-zsin(2x)cosh(y)r)

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