6³) Seja
, conjunto das funções de classe
com domínio
e contradomínio real. Mostre que se existir
tal que
então
e
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
são funções de classe
em
e que existe
tal que
O objetivo é mostrar que
e
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência e o Wronskiano.
Passo 2
Lembrando que
e
seriam linearmente dependentes se existissem constantes
, não ambas nulas, tais que
Diferenciando essa relação em
obteríamos
Passo 3
Em particular, avaliando em
temos o sistema homogêneo em
:
Passo 4
O determinante desse sistema é precisamente o Wronskiano em
:
Pela hipótese,
Dneq0 . Logo o único par
(c1,c2) que satisfaz o sistema é
c1=c2=0 . Isso contradiz a dependência linear não trivial.
Resposta
Portanto,
f e
g são linearmente independentes.