6³) Seja f, g in V=C^1((a, b) ; R), conjunto das funções de classe C^1 com domínio (a, b) subset R e contradomínio real. Mostre que se existir x in(a, b) tal que f(x) g^prime(x) neq f^prime(x) g(x) então f e g são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado diz que f,g são funções de classe C^1 em (a,b) e que existe x0in(a,b) tal que
f(x0),g'(x0)neq f'(x0),g(x0)
O objetivo é mostrar que f e g são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência e o Wronskiano.

Passo 2

Lembrando que f e g seriam linearmente dependentes se existissem constantes c1,c2, não ambas nulas, tais que
c1,f(t)+c2,g(t)=0 forall tin(a,b)
Diferenciando essa relação em t obteríamos
c1,f'(t)+c2,g'(t)=0 forall tin(a,b)

Passo 3

Em particular, avaliando em t=x0 temos o sistema homogêneo em (c1,c2):
c1,f(x0)+c2,g(x0)=0, c1,f'(x0)+c2,g'(x0)=0

Passo 4

O determinante desse sistema é precisamente o Wronskiano em x0:
D = f(x0) & g(x0) f'(x0) & g'(x0) = f(x0),g'(x0) - f'(x0),g(x0)
Pela hipótese, Dneq0. Logo o único par (c1,c2) que satisfaz o sistema é c1=c2=0. Isso contradiz a dependência linear não trivial.

Resposta

Portanto, f e g são linearmente independentes.

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