7^ a ) Seja V=R^4 verifique se B=(1,1,0,0),(2,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2) é uma base de V.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^4 e o conjunto de quatro vetores
B = (1,1,0,0),,(2,1,0,0),,(0,1,1,0),,(0,0,0,2)
Para que B seja base de V, é preciso que esses vetores sejam linearmente independentes (e, por terem quatro vetores em R^4, isso já garante que geram V).

Passo 2

Uma forma direta de testar independência é montar a matriz A cujas colunas são os vetores de B e verificar se det(A)neq0. Se o determinante for não nulo, as colunas são linearmente independentes.

Passo 3

A matriz A é
A = 1 & 2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2
Como A é triangular por blocos, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 cdot 2 = 2 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, os vetores de B são linearmente independentes em R^4. Tendo quatro vetores independentes em um espaço de dimensão quatro, concluímos que eles formam uma base de V.

Resposta

Sim. B é base de V.

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