(15 pontos) Se a solução do problema
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u(x, t)=\partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<25, t>0) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(25, t)(t>0) \\\ u(x, 0)=f(x)(0<x<25) \end{array}\right.
é u(x, t)=\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} c_{n} e^{-n^{2} \pi^{2} t / 625} \cos \left(\frac{n \pi x}{25}\right)(0 \leq x \leq 25, t \geq 0) então
\int_{0}^{25} f(x) d x=0
\mathrm{V}(\times) \mathrm{F}()
Solução: Como informado nos “Lembretes para a P1”, a solução do problema
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t} u(x, t)=\alpha^{2} \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<L, t>0) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(L, t)(t \geq 0) \\\ u(x, 0)=f(x)(0 \leq x \leq L) \end{array}\right.
é
u(x, t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} a_{n} e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right), a_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x
No caso em tela, temos
\alpha=1 \& L=25
algo que, no padrão acima dos “Lembretes para a P1”, enquadra a solução u(x, t) fornecida como
a_{0}=0 \& a_{n}=c_{n}(n=1,2, \cdots)
Em sintonia com este enquadramento, a integral de interesse aponta para n=0, ou melhor, aponta para
\int_{0}^{25} f(x) d x=\frac{25}{2} \cdot a_{0}=\frac{25}{2} \cdot 0=0
Portanto a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional com condição de contorno de Neumann em [0,25]\) e solução em série de Fourier-cosseno. Inicialmente, temos \[\begin{cases} \partial_{t}u(x,t)=\partial_{x}^{2}u(x,t),&0<x<25,\;t>0,\\\ \partial_{x}u(0,t)=0=\partial_{x}u(25,t),&t>0,\\\ u(x,0)=f(x),&0<x<25, \end{cases}
e foi dada a forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t/625}\,\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{25}\bigr).
A pergunta é se (\displaystyle\int_{0}^{25}f(x),dx=0] é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Recordamos a solução geral para Neumann em (0,L) com \alpha=1:
u(x,t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,e^{-n^{2}\pi^{2}t/L^{2}}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde
a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 3

No nosso caso L=25 e \alpha=1. Comparando com a série dada, não há termo constante independente de n, ou seja,
\frac{a_{0}}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{0}=0.

Passo 4

O coeficiente a_{0} corresponde a
a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx =\frac{2}{25}\int_{0}^{25}f(x)\,dx.

Passo 5

Isolando a integral, obtemos
\int_{0}^{25}f(x)\,dx=\frac{25}{2}\,a_{0}.

Passo 6

Como concluímos que a_{0}=0, segue
\int_{0}^{25}f(x)\,dx=\frac{25}{2}\cdot0=0.
Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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