u(x, t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} a_{n} e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right), a_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x
No caso em tela, temos
\alpha=1 \& L=25
algo que, no padrão acima dos “Lembretes para a P1”, enquadra a solução u(x, t) fornecida como
a_{0}=0 \& a_{n}=c_{n}(n=1,2, \cdots)
Em sintonia com este enquadramento, a integral de interesse aponta para n=0, ou melhor, aponta para
\int_{0}^{25} f(x) d x=\frac{25}{2} \cdot a_{0}=\frac{25}{2} \cdot 0=0
Portanto a afirmação é VERDADEIRA.
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional com condição de contorno de Neumann em [0,25]\) e solução em série de Fourier-cosseno. Inicialmente, temos
\[\begin{cases} \partial_{t}u(x,t)=\partial_{x}^{2}u(x,t),&0<x<25,\;t>0,\\\ \partial_{x}u(0,t)=0=\partial_{x}u(25,t),&t>0,\\\ u(x,0)=f(x),&0<x<25, \end{cases}