(15 pontos) Se a solução do problema
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t}^{2} u(x, t)=4 \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<30, t \in \mathbb{R}) \\\ u(0, t)=0=u(30, t)(t \in \mathbb{R}) \\\ u(x, 0)=f(x)(0 \leq x \leq 30) \\\ \partial_{t} u(x, 0)=g(x)(0 \leq x \leq 30) \end{array}\right.
é u(x, t)=\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}}\left[\frac{9}{n^{2} \pi^{2}} \sin \left(\frac{n \pi}{3}\right)\right] \sin \left(\frac{n \pi x}{30}\right) \cos \left(\frac{n \pi t}{15}\right)(0 \leq x \leq 30, t \in \mathbb{R}) então
g \equiv 0
\mathrm{V}(\times) \mathrm{F}()
Solução: Derivação parcial direta da solução u(x, t) dada, em relação a t, permite escrever
\partial_{t} u(x, t)=\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}}\left[\frac{9}{n^{2} \pi^{2}} \sin \left(\frac{n \pi}{3}\right)\right]\left\{\sin \left(\frac{n \pi x}{30}\right)\left[-\left(\frac{n \pi}{15}\right) \sin \left(\frac{n \pi t}{15}\right)\right]\right\}
quaisquer que sejam 0 \leq x \leq 30 e t \in \mathbb{R}, algo que, por seu turno, aponta para
g(x)=\partial_{t} u(x, 0)=\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}}\left[\frac{9}{n^{2} \pi^{2}} \sin \left(\frac{n \pi}{3}\right)\right]\left[\sin \left(\frac{n \pi x}{30}\right) \cdot 0\right]=0(0 \leq x \leq 30),
ou seja, aponta para g \equiv 0. Portanto a afirmação é VERDADEIRA.

Passo 1

O enunciado descreve a equação da onda \r \partial_{t}^{2}u=4\,\partial_{x}^{2}u em 0<x<30 com condições de contorno u(0,t)=u(30,t)=0 e condições iniciais \r \,u(x,0)=f(x), \partial_{t}u(x,0)=g(x). Está dada a solução \r
\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{9}{n^{2}\pi^{2}}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)\Bigr]\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{30}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n\pi t}{15}\bigr). \r
Pergunta-se se g\equiv0. Para responder, basta computar g(x)=\partial_{t}u(x,0).

Passo 2

Diferenciando termo a termo em relação a t obtém-se \r
\partial_{t}u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{30}\Bigr) \biggl[-\frac{n\pi}{15}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi t}{15}\Bigr)\biggr].

Passo 3

Avalia-se em t=0: como \sin\bigl(\tfrac{n\pi\cdot0}{15}\bigr)=0, cada termo da soma se anula, logo \r
%\r g(x)=\partial_{t}u(x,0)\r =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{n^{2}\pi^{2}}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{30}\Bigr)\Bigl[-\tfrac{n\pi}{15}\cdot0\Bigr]\r =0.\r

Resposta

Verdadeiro.

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