( 15 pontos) Se a solução do problema
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t}^{2} u(x, t)=a^{2} \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<L, t \in \mathbb{R}) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(L, t)(t \in \mathbb{R}) \\\ u(x, 0)=f(x)(0<x<L) \\\ \partial_{t} u(x, 0)=g(x)(0<x<L) \end{array}\right.
é u=u(x, t)(0 \leq x \leq L, t \in \mathbb{R}) dada por
u(x, t)=\frac{t}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\right]
então
\int_{0}^{L} f(x) d x \cdot \int_{0}^{L} g(x) d x=\frac{1}{2}
V () F (×)
Solução: Como informado nos “Lembretes para a P1”, a solução de
\left\{\begin{array}{l} \partial_{t}^{2} u(x, t)=a^{2} \partial_{x}^{2} u(x, t)(0<x<L, t \in \mathbb{R}) \\\ \partial_{x} u(0, t)=0=\partial_{x} u(L, t)(t \in \mathbb{R}) \\\ u(x, 0)=f(x)(0<x<L) \\\ \partial_{t} u(x, 0)=g(x)(0<x<L) \end{array}\right.
é
u(x, t)=\frac{a_{0}}{2}+\frac{b_{0} t}{2}+\sum_{n \in\{1,2, \cdots\}} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\right],
onde 0 \leq x \leq L, t \in \mathbb{R},
a_{0}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) d x \& b_{0}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} g(x) d x
e
\left\{\begin{array}{l} a_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x ; \\\ b_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{L} g(x) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x \end{array} \quad(n=1,2, \cdots)\right.
Enquandrando a solução u(x, t) dada no padrão acima dos “Lembretes da P1”, obtemos
a_{0}=0 \& b_{0}=1
o que permite escrever
\int_{0}^{L} f(x) d x \cdot \int_{0}^{L} g(x) d x=\left(\frac{2}{L} \cdot a_{0}\right)\left(\frac{2}{L} \cdot b_{0}\right)=\left(\frac{2}{L} \cdot 0\right)\left(\frac{2}{L} \cdot 1\right)=0 \neq \frac{1}{2} .
Portanto a afirmação é Falsa.

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda
\partial_{t}^{2}u(x,t)=a^{2}\partial_{x}^{2}u(x,t),\quad 0<x<L,\;t\in\mathbb{R},
com condições de contorno de Neumann
\partial_{x}u(0,t)=0=\partial_{x}u(L,t),
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad \partial_{t}u(x,0)=g(x).
Queremos verificar se, dado
u(x,t)=\frac{t}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\bigl[a_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr)+b_{n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr)\bigr],
vale
\Bigl(\int_{0}^{L}f(x)\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{L}g(x)\,dx\Bigr)=\frac12.
Para isso, vamos usar o padrão geral da solução pelo método de separação de variáveis, que envolve os coeficientes
a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad b_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x)\,dx,
onde a solução geral é
u(x,t)=\frac{a_{0}}{2}+\frac{b_{0}}{2}\,t+\sum_{n=1}^{\infty}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) \bigl[a_{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr)+b_{n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr)\bigr].

Passo 2

Comparemos o termo de ordem zero em x e t na solução dada:
u(x,t)=\frac{t}{2}+\cdots
No padrão geral esse termo é
\frac{a_{0}}{2}+\frac{b_{0}}{2}\,t.
Logo devemos ter
\frac{a_{0}}{2}=0 \quad\text{e}\quad \frac{b_{0}}{2}=\frac12.
Isto implica
a_{0}=0, \qquad b_{0}=1.

Passo 3

Como
a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{L}f(x)\,dx=\frac{L}{2}\,a_{0}=0,
e
b_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{L}g(x)\,dx=\frac{L}{2}\,b_{0}=\frac{L}{2}\cdot1=\frac{L}{2}.

Passo 4

O produto das integrais vale
\Bigl(\int_{0}^{L}f(x)\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{L}g(x)\,dx\Bigr) =0\cdot\frac{L}{2}=0.
Isso é diferente de \tfrac12.

Resposta

F (Falsa)

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