Calcule as transformadas inversas.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{2s+5}{s^{2}+6s+34}.
Vamos usar as propriedades de deslocamento no eixo s (fator e^{-3t}) e as transformadas conhecidas \mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
s^{2}+6s+34 = (s+3)^{2} + 34 - 9 = (s+3)^{2} + 25 = (s+3)^{2} + 5^{2}.

Passo 3

Reescreva o numerador 2s+5 em função de s+3:
2s+5 = 2(s+3) - 6 + 5 = 2(s+3) - 1.

Passo 4

Separe a fração em dois termos:
\frac{2s+5}{(s+3)^{2}+5^{2}} = \frac{2(s+3)}{(s+3)^{2}+5^{2}} - \frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}.

Passo 5

Aplique as inversas conhecidas:
  • Para
\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}} \quad\longrightarrow\quad e^{-3t}\cos(5t).
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\frac{2(s+3)}{(s+3)^{2}+5^{2}} \quad\longrightarrow\quad 2\,e^{-3t}\cos(5t).
  • Para
\frac{5}{(s+3)^{2}+5^{2}} \quad\longrightarrow\quad e^{-3t}\sin(5t),
temos
\frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}} = \frac{1}{5}\,\frac{5}{(s+3)^{2}+5^{2}} \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{5}\,e^{-3t}\sin(5t).
Como na fração original apareceu com sinal menos,
-\frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}} \quad\longrightarrow\quad -\frac{1}{5}\,e^{-3t}\sin(5t).

Passo 6

Some os dois resultados:
f(t) = 2\,e^{-3t}\cos(5t) - \frac{1}{5}\,e^{-3t}\sin(5t) = e^{-3t}\Bigl(2\cos(5t)-\tfrac{1}{5}\sin(5t)\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{2s+5}{s^{2}+6s+34}\biggr\} = e^{-3t}\Bigl(2\cos(5t)-\tfrac{1}{5}\sin(5t)\Bigr).

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