(15 pts.) Dentre os subconjuntos abaixo, identifique aqueles que são subespaços dos espaços vetoriais indicados.
\begin{aligned} U_{1} & =\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p(3)=1\right\} \subset \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \\\ U_{2} & =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \\\ U_{4} & =\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R}) ; \operatorname{det} A=1\right\} \subset M_{2}(\mathbb{R}) \\\ U_{8} & =\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(2 x-3 y)^{2}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \\\ U_{16} & =\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R}) ; A^{T}-A=0\right\} \subset M_{3}(\mathbb{R}) \end{aligned}
Sua resposta deve ser a soma dos índices dos conjuntos que são subespaços vetoriais (por exemplo, se você concluir que os conjuntos U_{1} e U_{8} são subespaços, sua resposta deve ser 1+8=9 ).

Passo 1

O enunciado fornece cinco subconjuntos
U_{1},\,U_{2},\,U_{4},\,U_{8},\,U_{16}
dentro de espaços vetoriais dados e pede para identificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais. Vamos usar o conteúdo de teste de subespaço, que envolve verificar se o conjunto contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. 0_V\in U.
  2. Para todo u,v\in U, u+v\in U.
  3. Para todo u\in U e todo escalar \lambda, \lambda u\in U.

Passo 3

Analisando U_{1}=\{p\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R});\,p(3)=1\}, U_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\,x+y+z=1\} e U_{4}=\{A\in M_{2}(\mathbb{R});\,\det A=1\}:
– O polinômio zero satisfaz p(3)=0\neq1, logo 0\notin U_{1}.
– O vetor zero em \mathbb{R}^3 tem soma das coordenadas igual a 0\neq1, logo 0\notin U_{2}.
– A matriz zero tem \det0=0\neq1, logo 0\notin U_{4}.
Em todos esses casos falha a condição de conter o vetor zero, portanto U_{1},U_{2},U_{4} não são subespaços.

Passo 4

Analisando U_{8}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\,(2x-3y)^2=0\}. A condição (2x-3y)^2=0 equivale a
2x-3y=0,
que é uma equação linear homogênea. Esse plano passa pela origem e é claramente fechado sob soma e multiplicação escalar, logo U_{8} é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 5

Analisando U_{16}=\{A\in M_{3}(\mathbb{R});\,A^T-A=0\}. A condição A^T=A define o espaço das matrizes simétricas de ordem 3. Somas e múltiplos escalares de matrizes simétricas continuam simétricos, e a matriz zero é simétrica. Portanto U_{16} é subespaço de M_{3}(\mathbb{R}).

Passo 6

Os índices dos conjuntos que são subespaços são 8 e 16. A soma desses índices é
8 + 16 = 24.

Resposta

24

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