(15 pts.) Dentre os subconjuntos abaixo, identifique aqueles que são subespaços dos espaços vetoriais indicados.
Sua resposta deve ser a soma dos índices dos conjuntos que são subespaços vetoriais (por exemplo, se você concluir que os conjuntos
e
são subespaços, sua resposta deve ser
).
Passo 1
O enunciado fornece cinco subconjuntos
dentro de espaços vetoriais dados e pede para identificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais. Vamos usar o conteúdo de teste de subespaço, que envolve verificar se o conjunto contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfaz:
-
. - Para todo
, . - Para todo
e todo escalar , .
Passo 3
Analisando
,
e
:
– O polinômio zero satisfaz , logo
.
– O vetor zero em tem soma das coordenadas igual a
, logo
.
– A matriz zero tem , logo
.
Em todos esses casos falha a condição de conter o vetor zero, portanto não são subespaços.
– O polinômio zero satisfaz
– O vetor zero em
– A matriz zero tem
Em todos esses casos falha a condição de conter o vetor zero, portanto
Passo 4
Analisando
. A condição
equivale a
que é uma equação linear homogênea. Esse plano passa pela origem e é claramente fechado sob soma e multiplicação escalar, logo
é subespaço de
.
Passo 5
Analisando
. A condição
define o espaço das matrizes simétricas de ordem 3. Somas e múltiplos escalares de matrizes simétricas continuam simétricos, e a matriz zero é simétrica. Portanto
é subespaço de
.
Passo 6
Os índices dos conjuntos que são subespaços são
e
. A soma desses índices é
Resposta
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