[15 pts] Determine se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Explique/justifique PRECISAMENTE. Considere \vec{u} e \vec{v} vetores em R^{3}. Itens (a) e (b) são independentes.
[5 pts] (V/F?) "Se \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer de R^{3} ENTÃO (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u}=0 "

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar precisamente. A afirmativa é: "Se \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer de \mathbb{R}^3 ENTÃO (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0".
Informações dadas: \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer em \mathbb{R}^3. Não há outras restrições (podem ser nulos, paralelos, quaisquer).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma direta e com calma).
  • Produto escalar (dot product): para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) definiu-se
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto é um número real que mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor no outro multiplicada pelas magnitudes. Se o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
  • Produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) podemos escrever \vec{u}\times\vec{v} pela determinante:
\vec{u}\times\vec{v}=\det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}.
Expandindo, obtemos as componentes:
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Propriedade importante (intuição): \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v} (direção dada pela regra da mão direita) e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.]

Passo 3

Prova algébrica direta e passo a passo de que (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0.
Escrevemos \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3). Pelas fórmulas acima,
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Agora calculamos o produto escalar com \vec{u}:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = u_1(u_2v_3-u_3v_2)+u_2(u_3v_1-u_1v_3)+u_3(u_1v_2-u_2v_1).
Expandindo cada termo:
\begin{aligned} (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} &= u_1u_2v_3 - u_1u_3v_2 \\\ &\quad + u_2u_3v_1 - u_1u_2v_3 \\\ &\quad + u_3u_1v_2 - u_2u_3v_1. \end{aligned}
Agora agrupamos termos iguais (nota que a multiplicação é comutativa, então u_3u_1v_2=u_1u_3v_2, etc.):
  • u_1u_2v_3 aparece com sinal + e com sinal -, cancelam-se.
  • u_2u_3v_1 aparece com sinal + e com sinal -, cancelam-se.
  • -u_1u_3v_2 e +u_3u_1v_2 são opostos e também se cancelam.
    Portanto todos os termos se cancelam e obtemos
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0.

Passo 4

Explicação geométrica curta (intuição que vale na prova): \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal (perpendicular) a \vec{u}; o produto escalar entre vetores ortogonais é zero. Assim, sem contas é imediato ver que (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0. Isso vale inclusive nos casos limites: se \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0} ou \vec{u} paralelo a \vec{v}, a igualdade também é verdadeira (pois \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} nesses casos).

Resposta

Verdadeiro.

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