[15 pts] Determine se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Explique/justifique PRECISAMENTE. Considere \vec{u} e \vec{v} vetores em R^{3}. Itens (a) e (b) são independentes.
[5 pts] (V/F?) "Se \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer de R^{3} ENTÃO (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u}=0 "
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar precisamente. A afirmativa é: "Se \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer de \mathbb{R}^3 ENTÃO (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0".
Informações dadas: \vec{u} e \vec{v} são vetores quaisquer em \mathbb{R}^3. Não há outras restrições (podem ser nulos, paralelos, quaisquer).
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma direta e com calma).
Produto escalar (dot product): para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) definiu-se
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto é um número real que mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor no outro multiplicada pelas magnitudes. Se o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) podemos escrever \vec{u}\times\vec{v} pela determinante:
Propriedade importante (intuição): \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v} (direção dada pela regra da mão direita) e com magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}.]
Passo 3
Prova algébrica direta e passo a passo de que (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0.
Escrevemos \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3). Pelas fórmulas acima,
Agora agrupamos termos iguais (nota que a multiplicação é comutativa, então u_3u_1v_2=u_1u_3v_2, etc.):
u_1u_2v_3 aparece com sinal + e com sinal -, cancelam-se.
u_2u_3v_1 aparece com sinal + e com sinal -, cancelam-se.
-u_1u_3v_2 e +u_3u_1v_2 são opostos e também se cancelam.
Portanto todos os termos se cancelam e obtemos
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0.
Passo 4
Explicação geométrica curta (intuição que vale na prova): \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal (perpendicular) a \vec{u}; o produto escalar entre vetores ortogonais é zero. Assim, sem contas é imediato ver que (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0. Isso vale inclusive nos casos limites: se \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0} ou \vec{u} paralelo a \vec{v}, a igualdade também é verdadeira (pois \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0} nesses casos).