[15 pts] Determine se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Explique/justifique PRECISAMENTE. Considere
e
vetores em
. Itens (a) e (b) são independentes.
[10 pts] (V/F?) “Se
são ortogonais ENTÃO
e
têm o mesmo comprimento.”
[10 pts] (V/F?) “Se
Passo 1
O enunciado fornece que
e
são vetores em
e afirma: “Se
e
são ortogonais ENTÃO
e
têm o mesmo comprimento.”\n
Dado: e
é ortogonal a
.\n
Pedido: determinar se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar precisamente (ou seja, provar ou dar contraexemplo).
Dado:
Pedido: determinar se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar precisamente (ou seja, provar ou dar contraexemplo).
Passo 2
Vou lembrar conceitos essenciais, devagar e sem pressa:\n
- Produto escalar (dot product): para
e em definimos .\n - Norma (comprimento) de um vetor:
. Logo .\n - Ortogonalidade: dois vetores
e são ortogonais exatamente quando .\n - Propriedades úteis do produto escalar: linearidade nas parcelas e comutatividade, isto é,
e .
Passo 3
Traduzimos a hipótese de ortogonalidade em uma equação com produto escalar:\n
Como é ortogonal a
, temos
Como
Passo 4
Expandimos o produto escalar usando linearidade e comutatividade:\n
Como
, os termos
e
se cancelam, ficando
Passo 5
Reconhecemos as normas ao quadrado:\n
logo da igualdade do passo anterior obtemos
Isso dá
Passo 6
Concluímos passando das normas ao quadrado para as normas:\n
As normas são números não negativos, então a igualdade das suas quadrados implica igualdade das normas:
As normas são números não negativos, então a igualdade das suas quadrados implica igualdade das normas:
Portanto, sob a hipótese dada,
e
têm o mesmo comprimento.\n
Para ficar mais concreto: um exemplo numérico que ilustra a situação é ,
. Aqui
, e
,
têm produto escalar zero.
Para ficar mais concreto: um exemplo numérico que ilustra a situação é
Resposta
Verdadeiro.