[15 pts] Determine se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Explique/justifique PRECISAMENTE. Considere \vec{u} e \vec{v} vetores em R^{3}. Itens (a) e (b) são independentes.
[10 pts] (V/F?) “Se \vec{u}+\vec{v} \quad e \quad \vec{u}-\vec{v} \quad são ortogonais ENTÃO \quad \vec{u} e \vec{v} \quad têm o mesmo comprimento.”

Passo 1

O enunciado fornece que \vec{u} e \vec{v} são vetores em \mathbb{R}^{3} e afirma: “Se \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v} são ortogonais ENTÃO \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo comprimento.”\n
Dado: \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^{3} e \vec{u}+\vec{v} é ortogonal a \vec{u}-\vec{v}.\n
Pedido: determinar se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar precisamente (ou seja, provar ou dar contraexemplo).

Passo 2

Vou lembrar conceitos essenciais, devagar e sem pressa:\n
  • Produto escalar (dot product): para \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) em \mathbb{R}^{3} definimos \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.\n
  • Norma (comprimento) de um vetor: \|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}. Logo \|\vec{a}\|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}.\n
  • Ortogonalidade: dois vetores \vec{p} e \vec{q} são ortogonais exatamente quando \vec{p}\cdot\vec{q}=0.\n
  • Propriedades úteis do produto escalar: linearidade nas parcelas e comutatividade, isto é, \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c} e \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.

Passo 3

Traduzimos a hipótese de ortogonalidade em uma equação com produto escalar:\n
Como \vec{u}+\vec{v} é ortogonal a \vec{u}-\vec{v}, temos
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0.

Passo 4

Expandimos o produto escalar usando linearidade e comutatividade:\n
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u} - \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{u} - \vec{v}\cdot\vec{v}.\n
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}, os termos -\vec{u}\cdot\vec{v} e +\vec{v}\cdot\vec{u} se cancelam, ficando
\vec{u}\cdot\vec{u} - \vec{v}\cdot\vec{v}=0.

Passo 5

Reconhecemos as normas ao quadrado:\n
\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2},\qquad \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^{2},
logo da igualdade do passo anterior obtemos
\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0.
Isso dá
\|\vec{u}\|^{2}=\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 6

Concluímos passando das normas ao quadrado para as normas:\n
As normas são números não negativos, então a igualdade das suas quadrados implica igualdade das normas:
\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|.
Portanto, sob a hipótese dada, \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo comprimento.\n
Para ficar mais concreto: um exemplo numérico que ilustra a situação é \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0). Aqui \|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1, e \vec{u}+\vec{v}=(1,1,0), \vec{u}-\vec{v}=(1,-1,0) têm produto escalar zero.

Resposta

Verdadeiro.

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