Considere a curva polar \quad r=4 \operatorname{sec} \theta \quad para \quad \pi / 4 \leq \theta \leq \pi / 3
Determine, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco desta curva. Note a disponibilização da tabela e fórmulas acima.

Passo 1

O enunciado fornece a curva em coordenadas polares r=4\operatorname{sec}\theta e o intervalo do parâmetro \pi/4\leq\theta\leq\pi/3.
A pergunta é: determinar, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes dadas:
r(\theta)=4\operatorname{sec}\theta e o intervalo de \theta é \left[\pi/4,\;\pi/3\right].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada com calma): para uma curva em coordenadas polares dada por r=r(\theta), o comprimento de arco entre \theta=\alpha e \theta=\beta é
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r(\theta)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.
Por que essa fórmula? Rápida intuição: escrevendo a curva em coordenadas paramétricas
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta,
temos
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r(\theta)\cos\theta.
Somando os quadrados e simplificando (use a identidade \sin^2\theta+\cos^2\theta=1) obtém-se
\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r(\theta)^2,
e o comprimento é L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta, que resulta na fórmula acima. Isso é tudo que precisamos para montar a integral.

Passo 3

Calcular \dfrac{dr}{d\theta} para r(\theta)=4\operatorname{sec}\theta. Lembrete da derivada: \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta. Portanto
\frac{dr}{d\theta}=4\frac{d}{d\theta}\bigl(\operatorname{sec}\theta\bigr)=4\operatorname{sec}\theta\tan\theta.

Passo 4

Montar o integrando usando r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2:
r^2=\bigl(4\operatorname{sec}\theta\bigr)^2=16\operatorname{sec}^2\theta,
\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2=\bigl(4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\bigr)^2=16\operatorname{sec}^2\theta\tan^2\theta.
Somando,
r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2=16\operatorname{sec}^2\theta\bigl(1+\tan^2\theta\bigr).
Usamos agora a identidade trigonométrica \,1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta. Assim
r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2=16\operatorname{sec}^2\theta\cdot\operatorname{sec}^2\theta=16\operatorname{sec}^4\theta.
A raiz positiva (porque comprimento é positivo) é
\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}= \sqrt{16\operatorname{sec}^4\theta}=4\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 5

Agora a integral do comprimento reduz-se a
L=\int_{\pi/4}^{\pi/3}4\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
Lembrete: a primitiva de \operatorname{sec}^2\theta é \tan\theta, isto é,
\int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta=\tan\theta.
Logo
L=4\Bigl[\tan\theta\Bigr]_{\theta=\pi/4}^{\theta=\pi/3}=4\bigl(\tan(\pi/3)-\tan(\pi/4)\bigr).
Sabendo \tan(\pi/3)=\sqrt{3} e \tan(\pi/4)=1, obtemos
L=4\bigl(\sqrt{3}-1\bigr).

Resposta

4\bigl(\sqrt{3}-1\bigr)

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