Considere a curva polar
para
Determine, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco desta curva. Note a disponibilização da tabela e fórmulas acima.
Determine, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco desta curva. Note a disponibilização da tabela e fórmulas acima.
Passo 1
O enunciado fornece a curva em coordenadas polares
e o intervalo do parâmetro
.
A pergunta é: determinar, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes dadas:
e o intervalo de
é
.
A pergunta é: determinar, usando uma integral definida e avaliando-a, o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada com calma): para uma curva em coordenadas polares dada por
, o comprimento de arco entre
e
é
Por que essa fórmula? Rápida intuição: escrevendo a curva em coordenadas paramétricas
temos
Somando os quadrados e simplificando (use a identidade
) obtém-se
e o comprimento é
, que resulta na fórmula acima. Isso é tudo que precisamos para montar a integral.
Passo 3
Calcular
para
. Lembrete da derivada:
. Portanto
Passo 4
Montar o integrando usando
:
Somando,
Usamos agora a identidade trigonométrica
. Assim
A raiz positiva (porque comprimento é positivo) é
Passo 5
Agora a integral do comprimento reduz-se a
Lembrete: a primitiva de
é
, isto é,
Logo
Sabendo
e
, obtemos