Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P(2,-2,-1), Q(3,1,-3) e R(7,-1,-4) é um triângulo retângulo (que possui um ângulo reto). O triângulo é retângulo?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o triângulo com vértices P(2,-2,-1), Q(3,1,-3) e R(7,-1,-4) é um triângulo retângulo (isto é, possui um ângulo reto).
Informações dadas:
\;P=(2,-2,-1), \;Q=(3,1,-3), \;R=(7,-1,-4).

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicando a ideia didaticamente): vou usar vetores e o produto escalar.
  • Para checar se o ângulo em um vértice, digamos em Q, é reto, pego os dois vetores formados pelas arestas que se encontram em Q: \vec{QP} e \vec{QR}.
  • Propriedade chave do produto escalar: para dois vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Se \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e ambos os vetores são não nulos, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ — ou seja, são perpendiculares.
  • Como o triângulo tem 3 ângulos, basta verificar se em algum vértice os vetores das duas arestas adjacentes têm produto escalar zero. Esta é a forma mais direta e numérica para o exame. (Outra opção seria usar o teorema de Pitágoras com os comprimentos, mas o produto escalar costuma ser mais rápido.)

Passo 3

Calcular os vetores lado a lado (subtração coordenada a coordenada). Lembre que, por exemplo,
\vec{PQ} = Q-P, ou seja componente a componente.
Calculemos
\vec{PQ}=Q-P=(3-2,\;1-(-2),\;-3-(-1))=(1,\;3,\;-2).
\vec{PR}=R-P=(7-2,\;-1-(-2),\;-4-(-1))=(5,\;1,\;-3).
\vec{QR}=R-Q=(7-3,\;-1-1,\;-4-(-3))=(4,\;-2,\;-1).

Passo 4

Para testar o ângulo em Q preciso dos vetores que partem de Q para os outros vértices: \vec{QP} e \vec{QR}. Note que
\vec{QP}=P-Q=-\vec{PQ}.
Calculemos explicitamente:
\vec{QP}=P-Q=(2-3,\;-2-1,\;-1-(-3))=(-1,\;-3,\;2).

Passo 5

Agora calculamos o produto escalar \vec{QP}\cdot\vec{QR}. A definição do produto escalar em coordenadas é
(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
Aplicando:
\vec{QP}\cdot\vec{QR}=(-1)\cdot 4 + (-3)\cdot(-2) + 2\cdot(-1).
Faço as multiplicações:
(-1)\cdot 4=-4,\quad (-3)\cdot(-2)=6,\quad 2\cdot(-1)=-2.
Somando:
\vec{QP}\cdot\vec{QR}=-4+6-2=0.

Passo 6

Interpretação do resultado: como \vec{QP}\cdot\vec{QR}=0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo (verificamos que seus comprimentos são positivos), concluímos que os vetores são perpendiculares e, portanto, o ângulo no vértice Q é reto. Para confirmar que os vetores são não nulos, calculemos rapidamente as normas:
\|\vec{QP}\|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}\neq 0,
\|\vec{QR}\|=\sqrt{4^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}\neq 0.

Passo 7

Opcional — checagem rápida de que os outros ângulos não são retos: por exemplo,
\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=1\cdot5+3\cdot1+(-2)\cdot(-3)=5+3+6=14\neq0,
logo o ângulo em P não é reto. Isso reforça que o único ângulo reto é em Q.

Resposta

Sim. O triângulo é retângulo em Q.

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