Use vetores para decidir se o triângulo com vértices
e
é um triângulo retângulo (que possui um ângulo reto). O triângulo é retângulo?
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o triângulo com vértices
,
e
é um triângulo retângulo (isto é, possui um ângulo reto).
Informações dadas:
,
,
.
Informações dadas:
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicando a ideia didaticamente): vou usar vetores e o produto escalar.
- Para checar se o ângulo em um vértice, digamos em
, é reto, pego os dois vetores formados pelas arestas que se encontram em : e . - Propriedade chave do produto escalar: para dois vetores
e ,
onde
é o ângulo entre eles. Se
e ambos os vetores são não nulos, então
e
— ou seja, são perpendiculares.
- Como o triângulo tem 3 ângulos, basta verificar se em algum vértice os vetores das duas arestas adjacentes têm produto escalar zero. Esta é a forma mais direta e numérica para o exame. (Outra opção seria usar o teorema de Pitágoras com os comprimentos, mas o produto escalar costuma ser mais rápido.)
Passo 3
Calcular os vetores lado a lado (subtração coordenada a coordenada). Lembre que, por exemplo,
, ou seja componente a componente.
Calculemos
Passo 4
Para testar o ângulo em
preciso dos vetores que partem de
para os outros vértices:
e
. Note que
.
Calculemos explicitamente:
Calculemos explicitamente:
Passo 5
Agora calculamos o produto escalar
. A definição do produto escalar em coordenadas é
Aplicando:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 6
Interpretação do resultado: como
e nenhum dos vetores é o vetor nulo (verificamos que seus comprimentos são positivos), concluímos que os vetores são perpendiculares e, portanto, o ângulo no vértice
é reto. Para confirmar que os vetores são não nulos, calculemos rapidamente as normas:
Passo 7
Opcional — checagem rápida de que os outros ângulos não são retos: por exemplo,
,
logo o ângulo em não é reto. Isso reforça que o único ângulo reto é em
.
logo o ângulo em
Resposta
Sim. O triângulo é retângulo em
.