(15 pts) Determine a equação do plano tangente à superfície definida por z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right) no ponto onde x=1 e y=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a superfície
z = \ln\bigl(x^2 + y^2\bigr)
e queremos o plano tangente no ponto com x_0=1 e y_0=0. Para isso, a gente usa a fórmula do plano tangente de z = f(x,y):
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).

Passo 2

Calcular z_0 = f(1,0). Como
f(1,0) = \ln\bigl(1^2 + 0^2\bigr) = \ln(1) = 0,
ficamos com z_0 = 0.

Passo 3

Encontrar as derivadas parciais gerais. Para
f(x,y) = \ln\bigl(x^2 + y^2\bigr)
valem
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(x^2 + y^2\bigr) = \frac{2x}{x^2 + y^2},
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\ln\bigl(x^2 + y^2\bigr) = \frac{2y}{x^2 + y^2}.

Passo 4

Avaliar em (1,0). Substituindo:
f_x(1,0) = \frac{2\cdot1}{1^2 + 0^2} = 2, \quad f_y(1,0) = \frac{2\cdot0}{1^2 + 0^2} = 0.

Passo 5

Construir a equação do plano tangente. Usando
z - 0 = 2\,(x-1) + 0\,(y-0),
segue-se
z = 2\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad z = 2x - 2.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 2x - 2.

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