( 25 pts) Seja a função
e a região compacta
o quadrado definido por
e
.
a) Encontre todos os pontos candidatos a sediarem os valores de máximo e mínimo absolutos de
na região
(pontos críticos no interior e na fronteira).
b) Utilize o teste da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos que se encontram no interior da região
.
a) Encontre todos os pontos candidatos a sediarem os valores de máximo e mínimo absolutos de
b) Utilize o teste da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos que se encontram no interior da região
Passo 1
O enunciado define a função
no quadrado
e pede: (a) todos os candidatos a máximos e mínimos absolutos (pontos críticos no interior e na fronteira) e (b) classificar por meio da matriz Hessiana os pontos críticos do interior. Para isso usaremos derivadas parciais, o gradiente, restrição a arestas e o teste de segunda derivada em multivariável.
Passo 2
No interior calculamos o gradiente e igualamos a zero. As derivadas parciais são
Para
obtemos o sistema
Substituindo
em
dá
, isto é
, logo
ou
. Se
então
; se
então
. Destes, apenas
fica estritamente no interior de
.
Passo 3
Agora achamos os críticos na fronteira por restrição a cada lado do quadrado:
– Lado :
,
. Endpoints
.
– Lado :
,
. Endpoints
.
– Lado :
,
. Endpoints
.
– Lado :
,
. Endpoints
.
– Lado
– Lado
– Lado
– Lado
Passo 4
Reunindo todos os candidatos:
no interior;
na fronteira e cantos:
,
,
,
,
e ainda ,
.
na fronteira e cantos:
e ainda
Passo 5
Avaliamos
em cada ponto:
Logo o valor máximo absoluto é
em
e
, e o mínimo absoluto é
em
.
Passo 6
Para classificar o ponto interior
usamos a matriz Hessiana
onde
Em
temos
O determinante é
e
. Pelo teste da Hessiana,
é um ponto de mínimo local (e de fato mínimo absoluto).]
Resposta
(a) Pontos candidatos:
,
,
,
,
,
,
.
Máximo absoluto em
e
; mínimo absoluto
em
.
(b) Pelo teste da Hessiana em (determinante positivo e
), esse ponto é mínimo local.
Máximo absoluto
(b) Pelo teste da Hessiana em