( 25 pts) Seja a função f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y e a região compacta R o quadrado definido por 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 2.
a) Encontre todos os pontos candidatos a sediarem os valores de máximo e mínimo absolutos de f na região R (pontos críticos no interior e na fronteira).
b) Utilize o teste da matriz Hessiana para classificar os pontos críticos que se encontram no interior da região R.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy
no quadrado
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le2\}
e pede: (a) todos os candidatos a máximos e mínimos absolutos (pontos críticos no interior e na fronteira) e (b) classificar por meio da matriz Hessiana os pontos críticos do interior. Para isso usaremos derivadas parciais, o gradiente, restrição a arestas e o teste de segunda derivada em multivariável.

Passo 2

No interior calculamos o gradiente e igualamos a zero. As derivadas parciais são
f_x=3x^2-3y=3(x^2-y), \quad f_y=3y^2-3x=3(y^2-x).
Para f_x=f_y=0 obtemos o sistema
y=x^2, \quad x=y^2.
Substituindo y=x^2 em x=y^2 x=x^4, isto é x(x^3-1)=0, logo x=0 ou x=1. Se x=0 então y=0; se x=1 então y=1. Destes, apenas (1,1) fica estritamente no interior de R.

Passo 3

Agora achamos os críticos na fronteira por restrição a cada lado do quadrado:
– Lado x=0: g(y)=f(0,y)=y^3, \,g'(y)=3y^2=0\Rightarrow y=0. Endpoints y=0,2.
– Lado x=2: g(y)=8+y^3-6y, \,g'(y)=3y^2-6=0\Rightarrow y^2=2\Rightarrow y=\sqrt2. Endpoints y=0,2.
– Lado y=0: h(x)=f(x,0)=x^3, \,h'(x)=3x^2=0\Rightarrow x=0. Endpoints x=0,2.
– Lado y=2: h(x)=x^3+8-6x, \,h'(x)=3x^2-6=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\sqrt2. Endpoints x=0,2.

Passo 4

Reunindo todos os candidatos:
(1,1) no interior;
na fronteira e cantos:
(0,0), (0,2), (2,0), (2,2),
e ainda (2,\sqrt2), (\sqrt2,2).

Passo 5

Avaliamos f em cada ponto:
f(1,1)=1+1-3= -1, \quad f(0,0)=0, \quad f(0,2)=8, \quad f(2,0)=8,
f(2,2)=8+8-12=4, \quad f(2,\sqrt2)=8+2\sqrt2-6\sqrt2=8-4\sqrt2\approx2,34,
f(\sqrt2,2)=2\sqrt2+8-6\sqrt2=8-4\sqrt2\approx2,34.
Logo o valor máximo absoluto é 8 em (0,2) e (2,0), e o mínimo absoluto é -1 em (1,1).

Passo 6

Para classificar o ponto interior (1,1) usamos a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde
f_{xx}=6x,\quad f_{xy}=-3,\quad f_{yy}=6y.
Em (1,1) temos
f_{xx}(1,1)=6,\quad f_{xy}(1,1)=-3,\quad f_{yy}(1,1)=6.
O determinante é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=6\cdot6-(-3)^2=36-9=27>0,
e f_{xx}(1,1)=6>0. Pelo teste da Hessiana, (1,1) é um ponto de mínimo local (e de fato mínimo absoluto).]

Resposta

(a) Pontos candidatos:
(1,1), (0,0), (0,2), (2,0), (2,2), (2,\sqrt2), (\sqrt2,2).
Máximo absoluto f=8 em (0,2) e (2,0); mínimo absoluto f=-1 em (1,1).
(b) Pelo teste da Hessiana em (1,1) (determinante positivo e f_{xx}>0), esse ponto é mínimo local.

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