( 10 pts ) Calcule o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique o motivo.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
quando
. O conteúdo aqui é análise de limite em várias variáveis, e uma forma padrão de investigar a existência do limite é testar diferentes curvas de aproximação (caminhos) até o ponto
.
Passo 2
Escolhemos o caminho dado por
onde
é uma constante. Substituindo em
temos
Como isso não depende de
, ao fazermos
obtemos
Passo 3
Para diferentes valores de
esse resultado muda. Por exemplo:
- Se
(caminho ), obtemos . - Se
(caminho ), obtemos .
Como o valor do limite depende do caminho escolhido (não é único), concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois ao aproximar
por curvas diferentes (por exemplo
ou
) obtém‐se valores distintos.