( 10 pts ) Calcule o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique o motivo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y) = \frac{3x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é análise de limite em várias variáveis, e uma forma padrão de investigar a existência do limite é testar diferentes curvas de aproximação (caminhos) até o ponto (0,0).

Passo 2

Escolhemos o caminho dado por
y = k\,x^{2},
onde k é uma constante. Substituindo em f(x,y) temos
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{3x^{2}\,(k x^{2})}{x^{4} + (k x^{2})^{2}} = \frac{3k\,x^{4}}{x^{4} + k^{2}\,x^{4}} = \frac{3k\,x^{4}}{x^{4}(1 + k^{2})} = \frac{3k}{1 + k^{2}}.
Como isso não depende de x, ao fazermos x\to0 obtemos
\lim_{x\to0} f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{3k}{1 + k^{2}}.

Passo 3

Para diferentes valores de k esse resultado muda. Por exemplo:
  • Se k=0 (caminho y=0), obtemos \displaystyle\frac{3\cdot0}{1+0^{2}}=0.
  • Se k=1 (caminho y=x^{2}), obtemos \displaystyle\frac{3\cdot1}{1+1^{2}}=\frac{3}{2}.
Como o valor do limite depende do caminho escolhido (não é único), concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois ao aproximar (x,y) por curvas diferentes (por exemplo y=0 ou y=x^{2}) obtém‐se valores distintos.

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