(Questão 6) [2,00] Calcule a distancia entre os planos paralelos
\pi_{1}: a x+b y+c z+d_{1}=0 \quad \pi_{2}: a x+b y+c z+d_{2}=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas em \mathbb{R}^3:
\pi_{1}:a x+b y+c z+d_{1}=0
\pi_{2}:a x+b y+c z+d_{2}=0
e pede a distância entre elas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, escolhemos um ponto qualquer P=(x_{0},y_{0},z_{0}) em \pi_{1}.
Por exemplo, se c\neq0, basta tomar
x_{0}=0,\quad y_{0}=0,\quad z_{0}=-\frac{d_{1}}{c},
pois então
a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{1} = c\Bigl(-\frac{d_{1}}{c}\Bigr)+d_{1} =0.
A distância de P ao plano \pi_{2} é dada por
\text{dist}(P,\pi_{2}) =\frac{\bigl|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{2}\bigr|}% {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Passo 3

Como P está em \pi_{1}, temos
a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d_{2} =(d_{2}-d_{1}).
Logo
\text{dist}(\pi_{1},\pi_{2}) =\frac{\bigl|d_{2}-d_{1}\bigr|}% {\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Resposta

\frac{\bigl|d_{2}-d_{1}\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

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