(15 pts) Seja y uma função de x, dada implicitamente pela equação \frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1.
(a) (8 pts) Determine \frac{d y}{d x}.
(b) ( 7 pts) Determine a equação da reta tangente à curva definida pela equação \frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1 no ponto (4,4).
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
\frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1,
onde y é função de x. As perguntas são:
(a) Determinar \dfrac{d y}{d x}.
(b) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (4,4).
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação em potências para facilitar a diferenciação:
\frac{y^{1/2}}{x}+\frac{x^{1/2}}{y}=1.
Isto é a mesma coisa que \;y^{1/2}x^{-1}+x^{1/2}y^{-1}=1.
Passo 3
Vou lembrar duas regras de diferenciação que vou usar:
Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
Regra da cadeia: se y=y(x) então \dfrac{d}{dx}\big(y^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}y^{-1/2}\,y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
Também sei que \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2} e \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
Passo 4
Derivo termo a termo. Para o primeiro termo y^{1/2}x^{-1} uso a regra do produto com u=y^{1/2} e v=x^{-1}: