(15 pts) Seja y uma função de x, dada implicitamente pela equação \frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1.
(a) (8 pts) Determine \frac{d y}{d x}.
(b) ( 7 pts) Determine a equação da reta tangente à curva definida pela equação \frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1 no ponto (4,4).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\frac{\sqrt{y}}{x}+\frac{\sqrt{x}}{y}=1,
onde y é função de x. As perguntas são:
  • (a) Determinar \dfrac{d y}{d x}.
  • (b) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (4,4).

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação em potências para facilitar a diferenciação:
\frac{y^{1/2}}{x}+\frac{x^{1/2}}{y}=1.
Isto é a mesma coisa que \;y^{1/2}x^{-1}+x^{1/2}y^{-1}=1.

Passo 3

Vou lembrar duas regras de diferenciação que vou usar:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia: se y=y(x) então \dfrac{d}{dx}\big(y^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}y^{-1/2}\,y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
    Também sei que \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2} e \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.

Passo 4

Derivo termo a termo. Para o primeiro termo y^{1/2}x^{-1} uso a regra do produto com u=y^{1/2} e v=x^{-1}:
\frac{d}{dx}\!\left(y^{1/2}x^{-1}\right) = \underbrace{\frac{d}{dx}\big(y^{1/2}\big)}_{=\tfrac{1}{2}y^{-1/2}y'}\cdot x^{-1} + y^{1/2}\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)}_{=-x^{-2}}
portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sqrt{y}}{x}\right) = \frac{1}{2x}y^{-1/2}y' - \frac{\sqrt{y}}{x^{2}}.

Passo 5

Para o segundo termo x^{1/2}y^{-1} uso produto com u=x^{1/2} e v=y^{-1}:
\frac{d}{dx}\!\left(x^{1/2}y^{-1}\right) = \underbrace{\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)}_{=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}}\cdot y^{-1} + x^{1/2}\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big)}_{=-y^{-2}y'}
portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right) = \frac{1}{2x^{1/2}y} - \frac{\sqrt{x}}{y^{2}}\,y'.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos e igualando à derivada do lado direito (que é zero), obtenho:
\left(\frac{1}{2x}y^{-1/2}\right)y' - \frac{\sqrt{y}}{x^{2}} +\frac{1}{2x^{1/2}y} - \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{2}}\right)y' = 0.
Agora agrupo os termos que contêm y' e os que não contêm:
\Bigg(\frac{1}{2x}y^{-1/2}-\frac{\sqrt{x}}{y^{2}}\Bigg)y' + \Bigg(-\frac{\sqrt{y}}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{1/2}y}\Bigg)=0.

Passo 7

Isolo y':
\Bigg(\frac{1}{2x\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{y^{2}}\Bigg)y' = \frac{\sqrt{y}}{x^{2}}-\frac{1}{2x^{1/2}y}.
Logo
\frac{dy}{dx}=y' = \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{y}}{x^{2}}-\frac{1}{2x^{1/2}y}} {\displaystyle \frac{1}{2x\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{y^{2}} }.
(Esta é a expressão de \dfrac{dy}{dx}.)

Passo 8

Agora avalio a derivada no ponto (4,4). Primeiro calculo as partes:
\sqrt{4}=2,\qquad x^{1/2}=2,\qquad x^{2}=16,\qquad y^{2}=16.
Numerador:
\frac{\sqrt{y}}{x^{2}}-\frac{1}{2x^{1/2}y} = \frac{2}{16}-\frac{1}{2\cdot 2\cdot 4} = \frac{1}{8}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}.
Denominador:
\frac{1}{2x\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{y^{2}} = \frac{1}{2\cdot 4\cdot 2}-\frac{2}{16} = \frac{1}{16}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{16}.
Portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(4,4)}=\frac{1/16}{-1/16}=-1.

Passo 9

A equação da reta tangente no ponto (x_0,y_0)=(4,4) com coeficiente angular m=-1 é dada pela forma ponto-declive:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo:
y-4=-1\,(x-4)\quad\Rightarrow\quad y=-x+8.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{\sqrt{y}}{x^{2}}-\dfrac{1}{2x^{1/2}y}}{\dfrac{1}{2x\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{x}}{y^{2}}}
y=-x+8

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