Determine:
\int \frac{7 x-24}{x^{2}-7 x+12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{7x-24}{x^{2}-7x+12}\,dx.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,7x-24\,.
  • O denominador é o polinômio quadrático \,x^{2}-7x+12\,.
    A primeira coisa a observar é que temos uma função racional (uma razão de polinômios) onde o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2). Isso permite tentar decompor a fração em frações parciais simples antes de integrar.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador, porque isso facilita a decomposição em frações parciais. Procuramos raízes de
x^{2}-7x+12=0.
Fatorando (ou procurando dois números cujo produto seja 12 e soma -7), obtemos
x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).

Passo 3

Como o denominador fatorou-se em dois fatores lineares distintos, podemos escrever a decomposição em frações parciais na forma
\frac{7x-24}{(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é transformar a integral em somas de integrais mais simples do tipo \int \frac{1}{x-a}\,dx.

Passo 4

Multiplicando a identidade anterior por (x-3)(x-4) (ou seja, pelo denominador comum), obtemos uma igualdade de polinômios:
7x-24 = A(x-4)+B(x-3).
Essa igualdade deve valer para todo x. Podemos encontrar A e B por substituição de valores convenientes ou por comparação de coeficientes.

Passo 5

Usando valores convenientes:
  • Para x=3:
7\cdot 3 - 24 = A(3-4) + B(0) \quad\Rightarrow\quad 21-24 = -A \quad\Rightarrow\quad -3 = -A \quad\Rightarrow\quad A=3.
  • Para x=4:
7\cdot 4 - 24 = A(0) + B(4-3) \quad\Rightarrow\quad 28-24 = B \quad\Rightarrow\quad 4 = B.
Logo, A=3 e B=4.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição, a integranda fica
\frac{7x-24}{x^{2}-7x+12}=\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x-4}.
Assim a integral se separa em duas integrais simples, usando a linearidade da integral:
\int \frac{7x-24}{x^{2}-7x+12}\,dx = \int \frac{3}{x-3}\,dx + \int \frac{4}{x-4}\,dx.

Passo 7

Para integrar cada parcela, usamos a fórmula básica (derivação inversa): para constante a,
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\!\bigl|x-a\bigr| + C.
Aplicando essa fórmula com fator constante:
\int \frac{3}{x-3}\,dx = 3\ln\!\bigl|x-3\bigr| + C_1, \qquad \int \frac{4}{x-4}\,dx = 4\ln\!\bigl|x-4\bigr| + C_2.
Somando e absorvendo constantes C_1+C_2 numa única constante arbitrária C, obtemos o resultado final.

Resposta

\;3\ln\!\bigl|x-3\bigr|+4\ln\!\bigl|x-4\bigr|+C\;

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