(10 pts) Calcule \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-1}-\sqrt{x}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}{x-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão tem raízes quadradas: \sqrt{2x-1} e \sqrt{x}.
  • O domínio onde as raízes são reais exige 2x-1\ge 0, isto é x\ge \tfrac{1}{2}. O ponto x=1 está no domínio, e podemos considerar x tendendo a 1 por valores próximos (maiores ou iguais a \tfrac{1}{2}).
  • Se substituirmos x=1 diretamente no numerador e no denominador obtemos 0/0, que é uma forma indeterminada. Portanto é necessário manipular a expressão para poder calcular o limite.

Passo 2

Explicando a estratégia (sem resolver ainda): quando um limite dá 0/0 é sinal de que há um fator x-1 que pode se cancelar; neste tipo de problema com raízes quadradas o truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O “conjugado” de \sqrt{2x-1}-\sqrt{x} é \sqrt{2x-1}+\sqrt{x}. Isso permite usar a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Passo 3

Multiplicamos a fração pelo número 1 escrito como \dfrac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}}. Escrevendo isso:
\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}} = \frac{\big(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}\big)\big(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}\big)}{(x-1)\big(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}\big)}.
No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
\big(\sqrt{2x-1}\big)^2-\big(\sqrt{x}\big)^2 = (2x-1)-x = x-1.

Passo 4

Substituindo o resultado do numerador, a expressão fica
\frac{x-1}{(x-1)\big(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}\big)}.
Agora cancelamos o fator comum x-1 (válido para x\neq 1; para o cálculo do limite consideramos x próximos de 1 mas diferentes de 1), obtendo a forma simplificada
\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}}.

Passo 5

Depois do cancelamento temos uma função que é contínua em x=1 (soma e raiz quadrada são funções contínuas no ponto), então podemos aplicar a propriedade de limites que permite substituir x=1 diretamente:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2\cdot 1-1}+\sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 6

(Apenas como verificação alternativa) Poderíamos também usar a regra de L’Hôpital, porque tínhamos inicialmente uma forma 0/0. Tomando derivadas do numerador e do denominador:
  • derivada de \sqrt{2x-1} é \dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} (regra da cadeia);
  • derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}};
  • derivada de x-1 é 1.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}}{x-1} = \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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