(10 pts) Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão tem raízes quadradas:
e . - O domínio onde as raízes são reais exige
, isto é . O ponto está no domínio, e podemos considerar tendendo a por valores próximos (maiores ou iguais a ). - Se substituirmos
diretamente no numerador e no denominador obtemos , que é uma forma indeterminada. Portanto é necessário manipular a expressão para poder calcular o limite.
Passo 2
Explicando a estratégia (sem resolver ainda): quando um limite dá
é sinal de que há um fator
que pode se cancelar; neste tipo de problema com raízes quadradas o truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O “conjugado” de
é
. Isso permite usar a identidade de diferença de quadrados:
Passo 3
Multiplicamos a fração pelo número
escrito como
. Escrevendo isso:
No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
Passo 4
Substituindo o resultado do numerador, a expressão fica
Agora cancelamos o fator comum
(válido para
; para o cálculo do limite consideramos
próximos de 1 mas diferentes de 1), obtendo a forma simplificada
Passo 5
Depois do cancelamento temos uma função que é contínua em
(soma e raiz quadrada são funções contínuas no ponto), então podemos aplicar a propriedade de limites que permite substituir
diretamente:
Passo 6
(Apenas como verificação alternativa) Poderíamos também usar a regra de L’Hôpital, porque tínhamos inicialmente uma forma
. Tomando derivadas do numerador e do denominador:
- derivada de
é (regra da cadeia); - derivada de
é ; - derivada de
é .
Aplicando L’Hôpital:
que coincide com o resultado anterior.