15^a Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
f(x)=x^3+a x^2+b x+c tenha pontos críticos em x=-2 e x=3. Qual é o de máximo e qual é o de mínimo?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=x^3+a x^2+b x+c
e queremos que os pontos críticos (isto é, onde f'(x)=0) sejam exatamente x=-2 e x=3.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^2+2a x+b
Para que as raízes de f'(x) sejam -2 e 3, deve ocorrer
f'(x)=k(x+2)(x-3)
para algum kneq0.

Passo 3

Como o coeficiente de x^2 em f'(x) é 3, igualamos
k=3,
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f'(x)=3(x+2)(x-3)=3x^2-3x-18
Comparando com 3x^2+2a x+b, obtemos
2a=-3Rightarrow a=-tfrac32,
b=-18

Passo 4

Note que c não aparece em f'(x), portanto permanece arbitrário (qualquer cinR).
Para classificar os críticos, usamos
f''(x)=6x+2a=6x-3

Passo 5

Avaliando em x=-2 e x=3:
f''(-2)=6(-2)-3=-12-3=-15<0Rightarrow x=-2 é máximo local, éá
f''(3)=6cdot3-3=18-3=15>0Rightarrow x=3 é mínimo local éí

Resposta

a=-tfrac32, b=-18, cinR (qualquer),
máximo local em x=-2 e mínimo local em x=3.

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