15^a Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
f(x)=raizx+(araizx), x>0, tenha um mínimo em x=1;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raizx+araizx, x>0,
e pede encontrar a para que haja um mínimo em x=1. Vamos usar o teste de derivada: achar f'(x), impor f'(1)=0 para ter ponto crítico em 1, e em seguida verificar com f''(1)>0 que é mínimo.

Passo 2

Calculando a derivada de
f(x)=x^1/2+a,x^-1/2
temos
f'(x)=12x^-1/2-a2x^-3/2 =12raizx-a2,x^3/2
Para que x=1 seja ponto crítico, impondo f'(1)=0 obtemos
f'(1)=12-a2=0 Longrightarrow 1 - a=0 Longrightarrow a=1

Passo 3

Para confirmar que é mínimo, calculamos a segunda derivada
f''(x)=-14x^-3/2+3a4x^-5/2
Em x=1 e com a=1 fica
f''(1)=-14+34=24=tfrac12>0,
confirmando mínimo em x=1.

Resposta

a=1

Exercícios relacionados