15^a Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
f(x)=a x^3+b x^2+c x tenha um ponto de inflexão P(1,2) e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -2.

Passo 1

O enunciado pede que a função
f(x)=a x^3+b x^2+c x
tenha um ponto de inflexão em P(1,2) e que a inclinação da reta tangente em x=1 seja -2.
Conteúdo: derivadas (primeira e segunda) e condição de ponto de inflexão ( f''(1)=0), mais as condições f(1)=2 e f'(1)=-2.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f:
f'(x)=3a x^2+2b x+c,
f''(x)=6a x+2b
Para ter ponto de inflexão em x=1 precisamos de
f''(1)=0

Passo 3

Impondo f''(1)=0:
6acdot1+2b=0 Longrightarrow 3a+b=0 Longrightarrow b=-3a

Passo 4

As outras duas condições são:
(1) o ponto (1,2) está em f, isto é
f(1)=a+b+c=2;
(2) a inclinação em x=1 é -2, isto é
f'(1)=3a+2b+c=-2

Passo 5

Substituindo
ficam
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Logo
e de (-2a+c=2] segue

Resposta

a=4,;b=-12,;c=10.

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