15^a Questão:. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
f(x)=a x e^-x^2 ; a neq 0 tenha um máximo em x=1raiz2 :

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a constante a (com aneq0) de modo que a função
f(x)=a,x,e^-x^2
tenha um máximo em x=tfrac1raiz2. O conteúdo usado é o teste de derivadas para extremos: calculamos f'(x), achamos pontos críticos e então exigimos que o segundo teste confirme máximo em x=tfrac1raiz2.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando regra do produto e cadeia. Como
f(x)=a;x;e^-x^2,
temos
f'(x) = a;ddxl(x,e^-x^2r) = al(xcdot(-2x)e^-x^2 + e^-x^2cdot1r) = a,e^-x^2,(1-2x^2)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=a,e^-x^2,(1-2x^2)=0
Como aneq0 e e^-x^2>0 para todo x, resta 1-2x^2=0, ou seja
x=pm1raiz2

Passo 4

Agora queremos que x=tfrac1raiz2 seja um ponto de máximo. Usamos o teste da segunda derivada. Derivando novamente:
f''(x) = ddxl[a,e^-x^2,(1-2x^2)r] = a,e^-x^2l[-2x(1-2x^2)r] + a,e^-x^2(-4x) = 2a,e^-x^2,x,(2x^2-3)

Passo 5

Avaliaremos f'' em x=tfrac1raiz2. Note que 2x^2=1, logo 2x^2-3=-2. Assim,
f''l(tfrac1raiz2r) =2a,e^-1/2,1raiz2,(-2) =-4araiz2,e^-1/2
Para ter máximo, precisamos de f''(tfrac1raiz2)<0. Como e^-1/2>0 e raiz2>0, isso exige
-4araiz2<0 Longrightarrow a>0

Resposta

a>0.

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