15 Questlio: Considere a função
a) (1,0). Determine, justificando, se
é ou não continua na origem;
b)
. Calcule
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de duas maneiras diferentes: uma para pontos diferentes da origem
e outra especificamente na origem. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções de várias variáveis e cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua na origem e como calcular derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte a) e ver se a função $ f $ é contínua na origem
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função na origem, que é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
. A função para
é:
Observamos que $ \cos $ está sempre entre -1 e 1, então:
Quando
, tanto $ (x^{2} + y^{2}) $ quanto $ - (x^{2} + y^{2}) $ vão para 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), isso implica que o limite de $ f(x, y) $ também é 0.
Passo 4
Como o limite de $ f(x, y) $ quando
é 0, e $ f(0,0) = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua na origem.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b) e calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto
, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $.
Passo 6
A derivada parcial em relação a $ y $ no ponto
é definida por:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Vamos calcular $ f(0, h) $ para $ h \neq 0 $:
Passo 7
Substituindo na definição da derivada parcial:
Como $ \cos\left(\frac{1}{|h|}\right) $ está sempre entre -1 e 1, temos:
Quando $ h \to 0 $, $ |h| \to 0 $, então pelo Teorema do Confronto, o limite é 0.
Resposta
a) A função $ f $ é contínua na origem
.
b) A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto
é $ 0 $.