15 Questlio: Considere a função
f(x, y)=ll (x^2+y^2) cos (1raizx^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
a) (1,0). Determine, justificando, se f é ou não continua na origem;
b) (1,0). Calcule partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de duas maneiras diferentes: uma para pontos diferentes da origem f(x, y) e outra especificamente na origem. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções de várias variáveis e cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua na origem e como calcular derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte a) e ver se a função $ f $ é contínua na origem f . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de $ f(x, y) $ quando (0,0) se aproxima de f(x, y) deve ser igual ao valor da função na origem, que é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) . A função para (x, y) to (0,0) é:
(x, y) neq (0,0)
Observamos que $ \cos $ está sempre entre -1 e 1, então:
f(x, y) = (x^2 + y^2) cos(1raizx^2 + y^2)
Quando cos , tanto $ (x^{2} + y^{2}) $ quanto $ - (x^{2} + y^{2}) $ vão para 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze), isso implica que o limite de $ f(x, y) $ também é 0.

Passo 4

Como o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) é 0, e $ f(0,0) = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua na origem.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b) e calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto f , ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $.

Passo 6

A derivada parcial em relação a $ y $ no ponto y é definida por:
(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Vamos calcular $ f(0, h) $ para $ h \neq 0 $:
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 f(0, h) - f(0,0)h

Passo 7

Substituindo na definição da derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 h^2 cos(1|h|) - 0h = limh to 0 h cos(1|h|)
Como $ \cos\left(\frac{1}{|h|}\right) $ está sempre entre -1 e 1, temos:
cos(1|h|)
Quando $ h \to 0 $, $ |h| \to 0 $, então pelo Teorema do Confronto, o limite é 0.

Resposta

a) A função $ f $ é contínua na origem f .
b) A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto (0,0) é $ 0 $.

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