Diga, justificando, se a seguinte função
tem limite no ponto $(0,0).
Passo 1
A função é f(x,y)=\frac{xy}{x{2}+2y{2}} definida em D=ℝ^{2}\setminus{(0,0)}. O conteúdo é limite de função de duas variáveis em (0,0) e vamos usar definição de limite e teste por caminhos.
Passo 2
Pela definição de limite de função de duas variáveis, se existem dois caminhos que levam a valores distintos quando (x,y)→(0,0), então o limite não existe.
No caminho y=0 temos f(x,0)=\frac{x\cdot0}{x{2}+2\cdot0{2}}=0. Assim, ao longo de y=0, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
No caminho y=x temos f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x{2}+2x{2}}=\frac{x{2}}{3x{2}}=\frac{1}{3} (para x≠0). Logo, ao longo de y=x, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\tfrac{1}{3}.
No caminho y=0 temos f(x,0)=\frac{x\cdot0}{x{2}+2\cdot0{2}}=0. Assim, ao longo de y=0, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
No caminho y=x temos f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x{2}+2x{2}}=\frac{x{2}}{3x{2}}=\frac{1}{3} (para x≠0). Logo, ao longo de y=x, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\tfrac{1}{3}.
Passo 3
Como os limites ao longo de y=0 e y=x são diferentes (0≠\tfrac{1}{3}), concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.
Resposta
O limite não existe.