15-Un resistor de 15.2 \mathrm{k} \Omega y un capacitor están conectados en serie y súbitamente se aplica un potencial de 13 V . El potencial en el capacitor se eleva a 5 V en 1.28 \mu \mathrm{~s}. (a) Calcule la constante de tiempo. (b) Halle la capacitancia del capacitor.

Passo 1

O enunciado dá um circuito RC em série com R = 15{,}2\:\mathrm{k}\Omega e um capacitor desconhecido. Aplica-se subitamente uma tensão de V_0 = 13\:\mathrm V e observa-se que a tensão no capacitor sobe a V_C = 5\:\mathrm V em t = 1{,}28\:\mu\mathrm s. O conteúdo é a carga exponencial de um capacitor, cuja lei é
V_C(t) = V_0\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr),
onde \tau = RC é a constante de tempo. Primeiro vamos achar \tau, depois a capacitância C.

Passo 2

Isolando \tau na expressão de V_C(t):
\frac{V_C}{V_0} = 1 - e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau} = 1 - \frac{V_C}{V_0} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{\tau} = \ln\!\Bigl(1 - \frac{V_C}{V_0}\Bigr).
Logo,
\tau = -\frac{t}{\ln\!\bigl(1 - V_C/V_0\bigr)} = -\frac{1{,}28\times10^{-6}}{\ln\!\bigl(1 - 5/13\bigr)} \approx 2{,}64\times10^{-6}\:\mathrm s =2{,}64\:\mu\mathrm s.

Passo 3

Como \tau = R\,C, temos
C = \frac{\tau}{R} = \frac{2{,}64\times10^{-6}}{15{,}2\times10^{3}} \approx 1{,}73\times10^{-10}\:\mathrm F =0{,}173\:\mathrm nF.

Resposta

(a) \tau \approx 2{,}64\:\mu\mathrm s
(b) C \approx 1{,}73\times10^{-10}\:\mathrm F

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