14-En un circuito RC en serie, \mathcal{E}=11 V, R=1.42 M \Omega y C=1.8 \mu F. (a) Calcule la constante de tiempo, (b) Halle la carga máxima que aparecerá en el capacitor durante la carga, (c) ¿Cuánto tiempo le toma a la carga llegar a 15.5 \mu C ?

Passo 1

O enunciado dá um circuito RC em série com tensão da fonte \mathcal{E}=11\text{ V}, resistência R=1{,}42\text{ M}\Omega e capacitância C=1{,}8\\ \mu\text{F}. Queremos:
  1. A constante de tempo \tau.
  2. A carga máxima Q_{\max} no capacitor.
  3. O tempo necessário para que a carga alcance 15{,}5\\ \mu\text{C}.
    Vamos usar as fórmulas
\tau = R\,C,
Q_{\max} = C\,\mathcal{E},
Q(t) = Q_{\max}\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr).

Passo 2

Para a constante de tempo calculamos
\tau = R\,C = (1{,}42\times10^{6}\,\Omega)\,(1{,}8\times10^{-6}\,\mathrm{F}) = 2{,}556\\ \mathrm{s}.

Passo 3

A carga máxima no capacitor é
Q_{\max} = C\,\mathcal{E} = (1{,}8\times10^{-6}\,\mathrm{F})\,(11\\ \mathrm{V}) = 1{,}98\times10^{-5}\,\mathrm{C} = 19{,}8\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Para achar o tempo t em que Q(t)=15{,}5\\ \mu\mathrm{C}, escrevemos
\frac{Q(t)}{Q_{\max}} = 1 - e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau} = 1 - \frac{Q(t)}{Q_{\max}}.
Substituindo Q(t)=15{,}5\\ \mu\mathrm{C} e Q_{\max}=19{,}8\\ \mu\mathrm{C},
e^{-t/\tau} = 1 - \frac{15{,}5}{19{,}8} = 0{,}2162 \quad\Longrightarrow\quad -t/\tau = \ln(0{,}2162) \quad\Longrightarrow\quad t = -\tau\,\ln(0{,}2162).
Usando \tau=2{,}556\\ \mathrm{s},
t = -2{,}556\ln(0{,}2162)\approx 3{,}91\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \tau = 2{,}56\\ \mathrm{s}.
(b) Q_{\max} = 19{,}8\\ \mu\mathrm{C}.
(c) t \approx 3{,}91\\ \mathrm{s}.

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