(EN-15) Seja \pi um dos planos gerados pelos vetores
\vec{v}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} \quad \text { e } \quad \vec{w}=-\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k} .
Considere \vec{u}=a \vec{i}+b \vec{j}+c \vec{k}, com a, b, c \in \mathbb{R}, um vetor unitário do plano \pi e na direção da reta bissetriz entre os vetores \vec{v} e \vec{w}.
O valor de 2 a^{2}+b^{2}+c^{2} é:
a) \frac{10}{9}
b) \frac{9}{8}
c) \frac{3}{2}
d) 1
e) \frac{11}{10}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Dois vetores que geram o plano \pi:
\vec{v}=2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}, \qquad \vec{w}=-\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}.
  • Um vetor \vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}, com a,b,c\in\mathbb{R}, que é unitário (ou seja, tem norma 1) e está no plano \pi.
  • Além disso, \vec{u} está na direção da reta bissetriz entre \vec{v} e \vec{w}, isto é, aponta exatamente na direção que divide o ângulo entre \vec{v} e \vec{w}.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor de
2a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Passo 2

Entendimento do que significa "direção da reta bissetriz entre \vec{v} e \vec{w}":
  • A reta bissetriz entre dois vetores dá uma direção que tem o mesmo ângulo com cada um dos dois vetores. Uma forma prática e padrão de obter essa direção é somar os vetores unitários que apontam nas direções de \vec{v} e de \vec{w}. Mais precisamente, se
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},\qquad \hat{w}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|},
então o vetor
\vec{s}=\hat{v}+\hat{w}
aponta na bissetriz do ângulo entre \vec{v} e \vec{w} (desde que \hat{v}+\hat{w}\neq\vec{0}). Depois obtém-se o vetor unitário na direção da bissetriz normalizando \vec{s}:
\vec{u}=\frac{\vec{s}}{\|\vec{s}\|}.
Breve justificativa (intuitiva): \vec{s} tem componentes simétricas em relação a \hat{v} e \hat{w}, e os produtos escalares \vec{s}\cdot\hat{v} e \vec{s}\cdot\hat{w} são iguais, o que implica que \vec{s} forma o mesmo ângulo com \hat{v} e com \hat{w}.

Passo 3

Calcular as normas de \vec{v} e \vec{w} (passo necessário para formar \hat{v} e \hat{w}).
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
\|\vec{w}\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Observação útil: as normas de \vec{v} e \vec{w} são iguais e valem 3. Isso simplifica bastante o cálculo das direções unitárias.

Passo 4

Formar os vetores unitários e somá-los.
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{3},\qquad \hat{w}=\frac{\vec{w}}{3}.
A soma é
\hat{v}+\hat{w}=\frac{\vec{v}+\vec{w}}{3}.
Calcular \vec{v}+\vec{w}:
\vec{v}+\vec{w}=(2+(-1))\vec{i}+(-2+2)\vec{j}+(1+2)\vec{k}=1\vec{i}+0\vec{j}+3\vec{k}.
Portanto
\hat{v}+\hat{w}=\frac{1}{3}(1,0,3).
Como o fator \tfrac{1}{3} é apenas escala, o vetor na direção da bissetriz tem a mesma direção de (1,0,3). Para obter o vetor unitário \vec{u} normalizamos (1,0,3).
Calcular a norma de (1,0,3):
\|(1,0,3)\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+0+9}=\sqrt{10}.
Logo o vetor unitário na direção da bissetriz é
\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,0,3).
Assim obtemos as componentes:
a=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad b=0,\qquad c=\frac{3}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Calcular a quantidade pedida usando as componentes encontradas. Podemos usar diretamente as componentes ou usar que \vec{u} é unitário ( a^{2}+b^{2}+c^{2}=1). Faço as duas observações rápidas:
Método direto:
2a^{2}+b^{2}+c^{2}=2\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^{2}+0^{2}+\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2} =2\cdot\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=\frac{2+9}{10}=\frac{11}{10}.
Método usando a^{2}+b^{2}+c^{2}=1:
2a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2}=1+a^{2}=1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}.

Passo 6

Conclusão: o valor de 2a^{2}+b^{2}+c^{2} é \dfrac{11}{10}, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) \dfrac{11}{10}

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