(EN-15) Seja
um dos planos gerados pelos vetores
Considere
, com
, um vetor unitário do plano
e na direção da reta bissetriz entre os vetores
e
.
O valor de
é:
a)
b)
c)
d) 1
e)
O valor de
a)
b)
c)
d) 1
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Dois vetores que geram o plano
:
- Um vetor
, com , que é unitário (ou seja, tem norma ) e está no plano . - Além disso,
está na direção da reta bissetriz entre e , isto é, aponta exatamente na direção que divide o ângulo entre e .
O que o problema pede:
- Calcular o valor de
Passo 2
Entendimento do que significa "direção da reta bissetriz entre
e
":
- A reta bissetriz entre dois vetores dá uma direção que tem o mesmo ângulo com cada um dos dois vetores. Uma forma prática e padrão de obter essa direção é somar os vetores unitários que apontam nas direções de
e de . Mais precisamente, se
então o vetor
aponta na bissetriz do ângulo entre
e
(desde que
). Depois obtém-se o vetor unitário na direção da bissetriz normalizando
:
Breve justificativa (intuitiva):
tem componentes simétricas em relação a
e
, e os produtos escalares
e
são iguais, o que implica que
forma o mesmo ângulo com
e com
.
Passo 3
Calcular as normas de
e
(passo necessário para formar
e
).
Observação útil: as normas de
e
são iguais e valem
. Isso simplifica bastante o cálculo das direções unitárias.
Passo 4
Formar os vetores unitários e somá-los.
A soma é
Calcular
:
Portanto
Como o fator
é apenas escala, o vetor na direção da bissetriz tem a mesma direção de
. Para obter o vetor unitário
normalizamos
.
Calcular a norma de
:
Logo o vetor unitário na direção da bissetriz é
Assim obtemos as componentes:
Passo 5
Calcular a quantidade pedida usando as componentes encontradas. Podemos usar diretamente as componentes ou usar que
é unitário (
). Faço as duas observações rápidas:
Método direto:
Método usando
:
Passo 6
Conclusão: o valor de
é
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)