(15) sumk=0^infty k!(x-1)^k

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em x0=1
sumk=0^inftyk!,(x-1)^k
e pede o raio de convergência (ou o conjunto de x em que a série converge). Para isso vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos termos gerais
ak=k!,(x-1)^k.
Calculamos
L ;=;limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty(k+1)!,l|x-1r|^,k+1k!,l|x-1r|^,k =limktoinfty(k+1),l|x-1r|

Passo 3

Observe que
(k+1),l|x-1r|;longrightarrow; 0,&se (l|x-1r|=0), +infty,&se (l|x-1r|>0)
Pelo teste da razão, a série converge apenas quando L<1. Aqui, se l|x-1r|>0 então L=+infty>1 e a série diverge.

Passo 4

O único caso em que L<1 ocorre quando l|x-1r|=0, ou seja, x=1. Nesse ponto todos os termos com k>=1 valem
(1-1)^k=0,
e resta apenas o termo k=0:
0!,(1-1)^0=1
Logo a série converge trivialmente em x=1 e diverge para qualquer outro valor de x.

Resposta

O raio de convergência é R=0. A série converge somente em x=1, e nesse ponto a soma vale 1.

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