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Passo 1
O enunciado apresenta a série de potências centrada em
e pede o raio de convergência (ou o conjunto de
em que a série converge). Para isso vamos usar o teste da razão para séries de potências.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos termos gerais
.
Calculamos
Calculamos
Passo 3
Observe que
Pelo teste da razão, a série converge apenas quando
L<1 . Aqui, se
l|x-1r|>0 então
L=+infty>1 e a série diverge.
Passo 4
O único caso em que
L<1 ocorre quando
l|x-1r|=0 , ou seja,
x=1 . Nesse ponto todos os termos com
k>=1 valem
(1-1)^k=0 ,
e resta apenas o termok=0 :
e resta apenas o termo
Logo a série converge trivialmente em
x=1 e diverge para qualquer outro valor de
x .
Resposta
O raio de convergência é
R=0 . A série converge somente em
x=1 , e nesse ponto a soma vale
1 .