Seja n=1,2,3 ldots. Discuta como as observações D^n x^n-1=0 e D^n x^n=n! podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
a) y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''=0
usando as observações
D^nx^n-1=0 e D^nx^n=n!,
para n=1,2,3,dots.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes e o fato de que monômios de grau menor que n são aniquilados pela derivada de ordem n.

Passo 2

Note que, em geral, se m<n então
D^n x^m = 0
Em particular, para n=2 temos
D^2 x^0 = D^2(1)=0, D^2 x^1 = D(D(x))=D(1)=0
Isto mostra que 1 e x são soluções da equação homogênea y''=0.

Passo 3

Como a equação é linear homogênea de segunda ordem, sua solução geral é a combinação linear de duas soluções linearmente independentes encontradas no passo anterior. Portanto
y(x) = C1cdot 1 ;+; C2cdot x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x

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