Seja
. Discuta como as observações
e
podem ser usadas para encontrar as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
usando as observações
para
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de ordem com coeficientes constantes e o fato de que monômios de grau menor que
são aniquilados pela derivada de ordem
.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares homogêneas de ordem
Passo 2
Note que, em geral, se
então
Em particular, para
temos
Isto mostra que
e
são soluções da equação homogênea
.
Passo 3
Como a equação é linear homogênea de segunda ordem, sua solução geral é a combinação linear de duas soluções linearmente independentes encontradas no passo anterior. Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.