a) Por inspeção, ache uma solução particular de
y^prime prime+2 y=10
b) Por inspeção, ache uma solução particular de
y^prime prime+2 y=-4 x
c) Ache uma solução particular de
y^prime prime+2 y=-4 x+10
d) Ache uma solução particular de
y^prime prime+2 y=8 x+5

Passo 1

O enunciado pede soluções particulares da EDO linear ,y''+2y=f(x) para diferentes forçantes f(x). Vamos usar o método dos coeficientes a determinar: quando f(x) é polinômio de grau n, tentamos yp também polinômio de grau n. Substituindo em ,y''+2y=f(x) e igualando coeficientes encontramos os parâmetros.

Passo 2

Para f(x)=10 (grau 0) suponho yp=A com A constante. Então yp''=0 e a equação fica
2A=10
logo
A=5

Passo 3

Para f(x)=-4x (grau 1) suponho yp=Bx+C. Então yp''=0 e
2(Bx+C)=-4x,
igualando coeficientes: 2B=-4implies B=-2 e 2C=0implies C=0. Logo yp=-2x.

Passo 4

Para f(x)=-4x+10 (grau 1) suponho yp=Bx+C. Então
2(Bx+C)=-4x+10,
de onde 2B=-4implies B=-2 e 2C=10implies C=5. Assim yp=-2x+5.

Passo 5

Para f(x)=8x+5 (grau 1) suponho yp=Bx+C. Logo
2(Bx+C)=8x+5,
então 2B=8implies B=4 e 2C=5implies C=tfrac52. Portanto yp=4x+tfrac52.

Resposta

(a) yp=5\n(b) yp=-2x\n(c) yp=-2x+5\n(d) yp=4x+tfrac52

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