dada a equação de onda unidimensional
onde
é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que E tem uma direção constante, ou seja, a direção
. Introduzindo a mudança de variáveis,
demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação para obter
onde
e
são funções arbitrárias.
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda unidimensional
e propõe a mudança de variáveis características
O objetivo é mostrar que, em
, a PDE se reduz a algo fácil de integrar e obter a forma generalizada
Passo 2
Vamos expressar as derivadas parciais em
e
através de
e
. Note que
Pela regra da cadeia,
Analogamente,
Passo 3
Substituindo na equação original,
Cancelando os termos iguais e dividindo por
, fica
Isso mostra que, nas novas variáveis, a PDE se reduz a
que é uma forma separável trivial de integrar.
Passo 4
Integrando
em relação a
, obtemos
onde
é função arbitrária de
. Agora integramos em
:
com
e
duas funções arbitrárias.