15 Suponha que existe, numa certa região, um campo eletrostático e um campo magnetostático. Demonstre que embora o vetor de Poynting possa ser não nulo, a integral de superfície de \mathrm{S} \cdot \mathrm{n} se anula sobre uma superfície fechada arbitrária no interior da região.

Passo 1

O enunciado considera um campo eletrostático \mathbf{E} e um campo magnetostático \mathbf{B} numa região qualquer, e pede para mostrar que, embora o vetor de Poynting
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\;\mathbf{E}\times\mathbf{B}
possa ser localmente não nulo, o fluxo total
\oint_{S}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dS
através de qualquer superfície fechada S inteiramente contida nessa região é zero. Vamos usar as equações de Maxwell em regime estático e o teorema da divergência.

Passo 2

Em regime eletrostático e magnetostático valem as equações de Maxwell (no vácuo):
\nabla\times\mathbf{E}=0 \qquad\text{e}\qquad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\,\mathbf{J},
onde \mathbf{J} é a densidade de corrente estacionária responsável pelo campo magnético.

Passo 3

A divergência do vetor de Poynting satisfaz a identidade vetorial
\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) =\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) -\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}).
Logo,
\nabla\cdot\mathbf{S} =\frac{1}{\mu_{0}}\;\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) =\frac{1}{\mu_{0}}\Bigl(0-\mathbf{E}\cdot(\mu_{0}\mathbf{J})\Bigr) =-\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}.

Passo 4

Agora aplicamos o teorema da divergência ao volume V limitado pela superfície fechada S:
\oint_{S}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{S}\,dV =-\int_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,dV.

Passo 5

Dentro da região considerada não há fontes internas de corrente (isto é, as correntes que geram \mathbf{B} estão fora do volume V), portanto
\mathbf{J}=\mathbf{0} \quad\text{em \(V\)},
e daí
\int_{V}\mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,dV=0.

Passo 6

Substituindo no resultado do teorema da divergência, concluímos que o fluxo total de \mathbf{S} pela superfície fechada é nulo:
\oint_{S}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dS=0.

Resposta

\oint_{S}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dS=0.

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