16 \hat{E} dada a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2} E}{\partial z^{2}}=\epsilon \mu \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}},
onde E é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que E tem uma direção constante, ou seja, a direção y. Introduzindo a mudança de variáveis,
\begin{aligned} & \bar{\zeta}=t+\sqrt{\epsilon \mu} z, \\\ & \eta=t-\sqrt{\epsilon \mu} z, \end{aligned}
demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação para obter
E(z, t)=E_{1}(\xi)+E_{2}(\eta)
onde E_{1} e E_{2} são funções arbitrárias.

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^{2}E}{\partial z^{2}}=\epsilon\mu\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}},
e propõe a mudança de variáveis características
\bar\zeta = t + \sqrt{\epsilon\mu}\,z, \qquad \eta = t - \sqrt{\epsilon\mu}\,z.
O objetivo é mostrar que, em \bar\zeta,\eta, a PDE se reduz a algo fácil de integrar e obter a forma generalizada
E(z,t)=E_{1}(\bar\zeta)+E_{2}(\eta).

Passo 2

Vamos expressar as derivadas parciais em z e t através de \bar\zeta e \eta. Note que
\frac{\partial\bar\zeta}{\partial z}=\sqrt{\epsilon\mu}, \quad \frac{\partial\eta}{\partial z}=-\sqrt{\epsilon\mu}, \quad \frac{\partial\bar\zeta}{\partial t}=1, \quad \frac{\partial\eta}{\partial t}=1.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial E}{\partial z} =\frac{\partial E}{\partial \bar\zeta}\,\frac{\partial\bar\zeta}{\partial z} +\frac{\partial E}{\partial \eta}\,\frac{\partial\eta}{\partial z} =\sqrt{\epsilon\mu}\,\bigl(E_{\bar\zeta}-E_{\eta}\bigr),
\frac{\partial^{2}E}{\partial z^{2}} =\epsilon\mu\bigl(E_{\bar\zeta\bar\zeta}-2E_{\bar\zeta\eta}+E_{\eta\eta}\bigr).
Analogamente,
\frac{\partial E}{\partial t} =E_{\bar\zeta}+E_{\eta}, \quad \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =E_{\bar\zeta\bar\zeta}+2E_{\bar\zeta\eta}+E_{\eta\eta}.

Passo 3

Substituindo na equação original,
\epsilon\mu\bigl(E_{\bar\zeta\bar\zeta}-2E_{\bar\zeta\eta}+E_{\eta\eta}\bigr) =\epsilon\mu\bigl(E_{\bar\zeta\bar\zeta}+2E_{\bar\zeta\eta}+E_{\eta\eta}\bigr).
Cancelando os termos iguais e dividindo por \epsilon\mu\neq0, fica
-2E_{\bar\zeta\eta}=2E_{\bar\zeta\eta} \quad\Longrightarrow\quad E_{\bar\zeta\eta}=0.
Isso mostra que, nas novas variáveis, a PDE se reduz a
\frac{\partial^{2}E}{\partial\bar\zeta\,\partial\eta}=0,
que é uma forma separável trivial de integrar.

Passo 4

Integrando E_{\bar\zeta\eta}=0 em relação a \eta, obtemos
E_{\bar\zeta}(\bar\zeta,\eta)=F(\bar\zeta),
onde F é função arbitrária de \bar\zeta. Agora integramos em \bar\zeta:
E(\bar\zeta,\eta) =\int E_{\bar\zeta}\,d\bar\zeta =\int F(\bar\zeta)\,d\bar\zeta +G(\eta) =E_{1}(\bar\zeta)+E_{2}(\eta),
com E_{1} e E_{2} duas funções arbitrárias.

Resposta

E(z,t)=E_{1}\bigl(t+\sqrt{\epsilon\mu}\,z\bigr) +E_{2}\bigl(t-\sqrt{\epsilon\mu}\,z\bigr).

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