15^{\underline{a}} Questão:

Uma partícula se movimenta ao longo da curva \mathbf{r}(t)=t \cos t \mathbf{i}+\operatorname{tsen} t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k},(0 \leq t \leq 1). Se ao longo dessa trajetória ela estiver sendo submetida a um campo de forças do tipo \mathbf{F}(x, y, z)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+z \mathbf{k}, encontre o trabalho total realizado por essa força, em todo o percurso.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula que se move segundo a curva
\mathbf{r}(t) = t\cos t\,\mathbf{i} + t\sin t\,\mathbf{j} + t^2\,\mathbf{k},
para 0 \le t \le 1, sujeita ao campo de força
\mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}.
Pede-se o trabalho total, que calculamos pelo conteúdo de integral de linha:
W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro achamos \mathbf{r}'(t).
Como
\mathbf{r}(t) = \bigl(t\cos t,\;t\sin t,\;t^2\bigr),
temos
\mathbf{r}'(t) = \bigl(\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;2t\bigr).

Passo 3

Depois substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(-t\sin t,\;t\cos t,\;t^2\bigr).
O produto escalar fica
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = (-t\sin t)(\cos t - t\sin t) + (t\cos t)(\sin t + t\cos t) + (t^2)(2t).

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
(-t\sin t)(\cos t) +(-t\sin t)(-t\sin t) + (t\cos t)(\sin t) + (t\cos t)(t\cos t) + 2t^3.
Agrupando,
-t\sin t\cos t + t^2\sin^2 t + t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t + 2t^3 = t^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2t^3 = t^2 + 2t^3.

Passo 5

O trabalho é
W = \int_{0}^{1} \bigl(t^2 + 2t^3\bigr)\,dt = \int_{0}^{1} t^2\,dt + 2\int_{0}^{1} t^3\,dt = \Bigl[\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_0^1 + 2\Bigl[\tfrac{t^4}{4}\Bigr]_0^1 = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{6}.

Resposta

O trabalho total realizado pela força ao longo da trajetória é \tfrac{5}{6}.

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