14{ }^{\underline{a}} Questão:

No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=y e^{x} \mathbf{i}+\left(e^{x}-\cos y\right) \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta do ponto A(0,0) ao ponto B(1, \pi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo campo
\mathbf{F}(x,y)=y e^x\,\mathbf{i}+\bigl(e^x-\cos y\bigr)\,\mathbf{j}
ao longo da linha reta que vai de A(0,0) até B(1,\pi).
O conteúdo é integral de linha de campos vetoriais, e vamos usar o fato de que, se o campo for conservativo, o trabalho é dado pela diferença de uma função potencial.

Passo 2

Verificamos se \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo calculando as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^x\bigr) =e^x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x-\cos y\bigr) =e^x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=y e^x, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q=e^x-\cos y.
Integrando \partial \varphi/\partial x=y e^x em relação a x, obtemos
\varphi(x,y)=y e^x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Então
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =e^x + h'(y) \stackrel{!}{=}e^x-\cos y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-\cos y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-\sin y + C.
Logo, podemos escolher
\varphi(x,y)=y e^x - \sin y.

Passo 4

O trabalho ao longo de uma curva de A até B é
W=\varphi\bigl(1,\pi\bigr)-\varphi\bigl(0,0\bigr).
Calculamos cada valor:
\varphi(1,\pi)=\pi e^1-\sin\pi=\pi e-0=\pi e,
\varphi(0,0)=0\cdot e^0-\sin0=0-0=0.
Logo
W=\pi e-0=\pi e.

Resposta

\displaystyle \pi e

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