5-15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}
; ou seja, calcule o fluxo de
\mathbf{F}
através de
S
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+z x \mathbf{k}, E é o cilindro sólido
x{2}+y{2} \leqslant 1
,
0 \leqslant z \leqslant 1

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+y z\,\mathbf{j}+z x\,\mathbf{k}.
  • A região sólida E é o cilindro compacto dado por \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leqslant1,\;0\leqslant z\leqslant1\}.
  • A superfície S é a fronteira fechada de E (tampa superior, tampa inferior e lateral).
O que se pede:
  • Calcular o fluxo \displaystyle \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, isto é, o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio do cilindro: 1.
  • Altura do cilindro: 1.
  • Região é simétrica em relação ao eixo z e ao plano z=0.

Passo 2

Apresentar o teorema que vamos usar (enunciado e significado das variáveis).
O Teorema do Divergente (ou Gauss) diz que, para uma região sólida E com fronteira suave S orientada para fora,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV,
onde \operatorname{div}\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F} e dV é o elemento de volume.
Aqui:
  • \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) com F_1=x y, F_2=y z, F_3=z x.
  • \operatorname{div}\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
Agora calculamos a divergência passo a passo:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z x)=x.
Somando,
\operatorname{div}\mathbf{F}=x+y+z.

Passo 3

Aplicar o Teorema do Divergente: substituir o problema do fluxo pela integral tripla da divergência sobre E:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}(x+y+z)\,dV.
Explicação: agora precisamos calcular a integral de volume de x+y+z sobre o cilindro x^{2}+y^{2}\leqslant1,\;0\leqslant z\leqslant1.

Passo 4

Escolher coordenadas apropriadas e transformar a integral. Para um cilindro é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) definidas por:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com o jacobiano (elemento de volume) dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Os limites para nosso cilindro são:
0\leqslant r\leqslant1,\qquad 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi,\qquad 0\leqslant z\leqslant1.
Na nova coordenada o integrando fica
x+y+z = r\cos\theta + r\sin\theta + z.
Portanto a integral tripla é
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV =\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\,r\,d\theta\,dr\,dz.

Passo 5

Separar a integral em três partes (linearidade da integral):
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV =I_x+I_y+I_z
onde
I_x=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} r\cos\theta\cdot r\,d\theta\,dr\,dz,
I_y=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} r\sin\theta\cdot r\,d\theta\,dr\,dz,
I_z=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} z\cdot r\,d\theta\,dr\,dz.
Agora avalio I_x e I_y. Em ambas, o fator dependente de \theta é \cos\theta ou \sin\theta. Como
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
segue que as integrais em \theta anulam I_x e I_y. Alternativamente, por simetria espacial, as integrais de x e y sobre um cilindro centrado na origem dão zero. Portanto
I_x=0,\qquad I_y=0.

Passo 6

Resta calcular I_z. Montamos a integral e operamos por partes fáceis:
I_z=\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi} z\,r\,d\theta\,dr\,dz.
A integral em \theta é imediata:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Logo
I_z=2\pi\int_{z=0}^{1}\int_{r=0}^{1} z\,r\,dr\,dz.
Agora a integral em r:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Portanto
I_z=2\pi\left(\frac{1}{2}\right)\int_{0}^{1} z\,dz = \pi\int_{0}^{1} z\,dz.
Finalmente,
\int_{0}^{1} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
logo
I_z=\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Somando as partes:
\iiint_{E}(x+y+z)\,dV = I_x+I_y+I_z = 0+0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Pelo Teorema do Divergente, este valor é exatamente o fluxo pedido.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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