5-15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}
; ou seja, calcule o fluxo de
\mathbf{F}
através de
S
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+z x \mathbf{k}, E é o cilindro sólido
x{2}+y{2} \leqslant 1
,
0 \leqslant z \leqslant 1
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+z x \mathbf{k}, E é o cilindro sólido
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - A região sólida
é o cilindro compacto dado por . - A superfície
é a fronteira fechada de (tampa superior, tampa inferior e lateral).
O que se pede:
- Calcular o fluxo
, isto é, o fluxo de através da superfície fechada .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio do cilindro:
. - Altura do cilindro:
. - Região é simétrica em relação ao eixo
e ao plano .
Passo 2
Apresentar o teorema que vamos usar (enunciado e significado das variáveis).
O Teorema do Divergente (ou Gauss) diz que, para uma região sólida
com fronteira suave
orientada para fora,
onde
é a divergência de
e
é o elemento de volume.
Aqui:
Aqui:
-
com , , . -
.
Agora calculamos a divergência passo a passo:
Somando,
Passo 3
Aplicar o Teorema do Divergente: substituir o problema do fluxo pela integral tripla da divergência sobre
:
Explicação: agora precisamos calcular a integral de volume de
sobre o cilindro
.
Passo 4
Escolher coordenadas apropriadas e transformar a integral. Para um cilindro é natural usar coordenadas cilíndricas
definidas por:
com o jacobiano (elemento de volume)
. Os limites para nosso cilindro são:
Na nova coordenada o integrando fica
Portanto a integral tripla é
Passo 5
Separar a integral em três partes (linearidade da integral):
onde
Agora avalio
e
. Em ambas, o fator dependente de
é
ou
. Como
segue que as integrais em
anulam
e
. Alternativamente, por simetria espacial, as integrais de
e
sobre um cilindro centrado na origem dão zero. Portanto
Passo 6
Resta calcular
. Montamos a integral e operamos por partes fáceis:
A integral em
é imediata:
Logo
Agora a integral em
:
Portanto
Finalmente,
logo
Passo 7
Somando as partes:
Pelo Teorema do Divergente, este valor é exatamente o fluxo pedido.