5-15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}
; ou seja, calcule o fluxo de
\mathbf{F}
através de
S
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, E é a bola unitária
x{2}+y{2}+z^{2} \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},
ou seja, o fluxo do campo vetorial \mathbf{F} através da superfície S. As informações dadas são:
  • \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • E é a bola unitária definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 1.
  • A superfície S é a superfície da bola E (ou seja, a esfera de raio 1), presumida orientada para fora (orientação exterior padrão).
O que se pede: calcular o fluxo total do campo \mathbf{F} através da superfície S.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que relaciona fluxo de superfície com integral de volume (enunciada sem assumir conhecimento prévio):
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Explicando cada símbolo:
  • \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} é o fluxo de \mathbf{F} através da superfície S; aqui d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS é o vetor elemento de área com \mathbf{n} a normal unitária apontando para fora.
  • \iiint_{E}(\cdot)\,dV é a integral sobre o volume E contido pela superfície S.
  • \operatorname{div}\mathbf{F} é a divergência do campo \mathbf{F}, uma função escalar que será integrada sobre E.
Esta igualdade é o chamado Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss). Usá-lo é natural quando a região é um corpo bem conhecido (aqui a bola unitária) e a divergência é simples.

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{F}. Por definição,
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(F_x)+\frac{\partial}{\partial y}(F_y)+\frac{\partial}{\partial z}(F_z),
onde F_x,F_y,F_z são as componentes de \mathbf{F}. No nosso caso F_x=x, F_y=y, F_z=z. Portanto
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z)=1+1+1=3.
Observação didática rápida: a divergência mede, em cada ponto, a “taxa de saída” do campo desse ponto; aqui é constante e igual a 3.

Passo 4

Substituir no teorema do divergente. Como \operatorname{div}\mathbf{F}=3 é constante em todo E, a integral de volume fica
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{E}3\,dV=3\iiint_{E}dV.
Isto é, o fluxo é simplesmente 3 vezes o volume da bola unitária. Duas vias para prosseguir:
  • usar a fórmula conhecida do volume da esfera de raio r: \mathrm{Vol}(B_r)=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, com r=1;
  • ou calcular a integral tripla explicitamente em coordenadas esféricas para ver o detalhe das integrais (vou mostrar as duas, porque é útil para provas).

Passo 5

Via direta com a fórmula do volume:
\mathrm{Vol}(E)=\frac{4}{3}\pi (1)^{3}=\frac{4}{3}\pi.
Logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=3\cdot\frac{4}{3}\pi=4\pi.

Passo 6

Via demonstração em coordenadas esféricas (para aprender/mostrar o procedimento):
  • Em coordenadas esféricas usuais usa-se as variáveis \rho (distância ao origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, 0\leqslant\varphi\leqslant\pi) e \theta (ângulo azimutal no plano xy, 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi).
  • O elemento de volume é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Para a bola unitária os limites são \rho\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].
Assim a integral fica
\iiint_{E}3\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}3\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Calcule passo a passo:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{1}3\rho^{2}\,d\rho=3\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{3}=1.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}= -\cos\pi +\cos 0 = -(-1)+1=2.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando os resultados: 1\cdot 2\cdot 2\pi=4\pi. Confirmando o resultado obtido pela fórmula do volume.

Passo 7

Conclusão e incentivo amistoso: o fluxo do campo \mathbf{F}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} através da superfície da bola unitária é uma conta bem direta porque a divergência é constante; a resposta numérica é dada abaixo. Boa! Isso era um exercício clássico: se a divergência é constante, basta multiplicar pela volume — ótima economia de tempo na prova.

Resposta

4\pi

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