5-15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}
; ou seja, calcule o fluxo de
\mathbf{F}
através de
S
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, E é a bola unitária
x{2}+y{2}+z^{2} \leqslant 1
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, E é a bola unitária
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
ou seja, o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. As informações dadas são:
-
-
é a bola unitária definida por . - A superfície
é a superfície da bola (ou seja, a esfera de raio ), presumida orientada para fora (orientação exterior padrão).
O que se pede: calcular o fluxo total do campo
através da superfície
.
Passo 2
Apresentar a ferramenta que relaciona fluxo de superfície com integral de volume (enunciada sem assumir conhecimento prévio):
Explicando cada símbolo:
-
é o fluxo de através da superfície ; aqui é o vetor elemento de área com a normal unitária apontando para fora. -
é a integral sobre o volume contido pela superfície . -
é a divergência do campo , uma função escalar que será integrada sobre .
Esta igualdade é o chamado Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss). Usá-lo é natural quando a região é um corpo bem conhecido (aqui a bola unitária) e a divergência é simples.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Por definição,
onde
são as componentes de
. No nosso caso
,
,
. Portanto
Observação didática rápida: a divergência mede, em cada ponto, a “taxa de saída” do campo desse ponto; aqui é constante e igual a
.
Passo 4
Substituir no teorema do divergente. Como
é constante em todo
, a integral de volume fica
Isto é, o fluxo é simplesmente
vezes o volume da bola unitária. Duas vias para prosseguir:
- usar a fórmula conhecida do volume da esfera de raio
: , com ; - ou calcular a integral tripla explicitamente em coordenadas esféricas para ver o detalhe das integrais (vou mostrar as duas, porque é útil para provas).
Passo 5
Via direta com a fórmula do volume:
Logo
Passo 6
Via demonstração em coordenadas esféricas (para aprender/mostrar o procedimento):
- Em coordenadas esféricas usuais usa-se as variáveis
(distância ao origem), (ângulo polar medido a partir do eixo positivo, ) e (ângulo azimutal no plano , ). - O elemento de volume é
. - Para a bola unitária os limites são
, , .
Assim a integral fica
Calcule passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando os resultados:
. Confirmando o resultado obtido pela fórmula do volume.
Passo 7
Conclusão e incentivo amistoso: o fluxo do campo
através da superfície da bola unitária é uma conta bem direta porque a divergência é constante; a resposta numérica é dada abaixo. Boa! Isso era um exercício clássico: se a divergência é constante, basta multiplicar pela volume — ótima economia de tempo na prova.