QUESTÃO 2 Calcule triangle S em cada um dos seguintes processos:
( 0,4 ponto) quando 2,0 mols de um gás ideal, cujo \bar{C}_{n}=2,5 R, vão da condiçāo de -123^{\circ} \mathrm{C} e 1,245 atm para 177^{\circ} \mathrm{C} e 3.735 atm .

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular \Delta S (variação de entropia) quando 2{,}0 mols de um gás ideal vão do estado inicial para o estado final indicados.
Informações fornecidas no enunciado:
  • número de mols: n=2{,}0.
  • capacidade molar média (fornecida): \bar{C}_n=2{,}5\,R.
  • estado inicial: T_1=-123^\circ\mathrm{C} e P_1=1{,}245\\ \mathrm{atm}.
  • estado final: T_2=177^\circ\mathrm{C} e P_2=3{,}735\\ \mathrm{atm}.
Observação importante (dados numéricos que estarão em conta): as temperaturas no enunciado estão em graus Celsius e precisam ser convertidas para Kelvin para usar fórmulas termodinâmicas.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo conceitual e por que usar):
  • Para um gás ideal, a variação de entropia entre dois estados pode ser obtida integrando a expressão diferencial de entropia. Uma forma prática, escrevendo S como função de T e P, é:
dS = n\,\bar{C}_p\,\frac{dT}{T} - nR\,\frac{dP}{P}.
Aqui:
  • \bar{C}_p é a capacidade molar a pressão constante (assumida aproximadamente constante no intervalo).
  • R é a constante dos gases perfeitos ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
    Integramos essa expressão entre os estados 1 e 2 para obter:
\Delta S = n\,\bar{C}_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • No enunciado foi dada a capacidade molar \bar{C}_n=2{,}5\,R. Esse valor corresponde a \bar{C}_V (capacidade molar a volume constante) para um gás diatômico ( C_V=5/2\,R). Para usar a fórmula acima precisamos de \bar{C}_p. A relação entre as capacidades é
\bar{C}_p=\bar{C}_V+R.
  • Logo, com \bar{C}_V=2{,}5\,R, tem-se \bar{C}_p=2{,}5\,R+R=3{,}5\,R.
  • Substituindo \bar{C}_p=3{,}5\,R na fórmula de \Delta S obtemos:
\Delta S = n\left(3{,}5\,R\right)\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • Podemos simplificar observando que 3{,}5\,R\ln(T_2/T_1)-R\ln(P_2/P_1)=(2{,}5\,R)\ln(T_2/T_1)+R\bigl(\ln(T_2/T_1)-\ln(P_2/P_1)\bigr). Se os quocientes T_2/T_1 e P_2/P_1 forem iguais, a última diferença de logaritmos some e ficamos com \Delta S = n(2{,}5\,R)\ln(T_2/T_1), que usa diretamente o \bar{C}_V dado.

Passo 3

Converter temperaturas e calcular as razões:
  • Converter para Kelvin (usar aproximação usual 0^\circ\mathrm{C}=273\\ \mathrm{K}, suficiente para a prova e simplifica contas; a diferença ao usar 273{,}15 K é insignificante para o resultado final).
T_1 = -123^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1 = -123 + 273 = 150\\ \mathrm{K},
T_2 = 177^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2 = 177 + 273 = 450\\ \mathrm{K}.
  • Calcular as razões:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{450}{150}=3, \qquad \frac{P_2}{P_1}=\frac{3{,}735}{1{,}245}=3.
Observação: ambas as razões são iguais a 3. Assim a expressão de \Delta S simplifica muito (como explicado no passo anterior).

Passo 4

Aplicar a simplificação e derivar expressão simples:
  • Como \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{P_2}{P_1}=3, na fórmula integrada:
\Delta S = n\,\bar{C}_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)
fica
\Delta S = n\bigl(\bar{C}_p - R\bigr)\ln(3).
  • Mas \bar{C}_p - R = \bar{C}_V = 2{,}5\,R. Portanto
\Delta S = n\,(2{,}5\,R)\ln(3).

Passo 5

Cálculo numérico (passo a passo, sem usar calculadora complexa):
  • Primeiro, calcular 2{,}5\,R:
2{,}5\,R = 2{,}5\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Multiplicar por n=2{,}0:
n(2{,}5\,R)=2{,}0\times 20{,}785 = 41{,}57\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Usar \ln(3)\approx 1{,}098612. Multiplicando:
\Delta S = 41{,}57 \times 1{,}098612 \approx 45{,}66\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando de forma razoável para a prova:
\Delta S \approx 45{,}7\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação final e cheque rápido:
  • \Delta S é positivo, o que faz sentido: a temperatura aumentou bastante (processo acompanhado de aumento de entropia do gás).
  • Se alguém preferir usar 273{,}15\\ \mathrm{K} nas conversões, o resultado muda só nas milésimas, e o valor final continua sendo \approx 45{,}66\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\Delta S = 45{,}7\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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