I. Dados um hemisfério
e uma parte
de um paraboloide, suponha que
seja um campo vetorial sobre
cujas componentes tenham derivadas parciais contínuas. Explique por que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas:
-
é um hemisfério (superfície suave com uma borda fechada). -
é uma parte de um paraboloide cujo bordo é a mesma curva fechada que limita . - As componentes de
têm derivadas parciais contínuas (ou seja, ), condição necessária para usar os teoremas habituais. - A figura mostra que
e têm uma mesma curva de fronteira fechada comum (uma circunferência), que chamaremos .
O enunciado, portanto, quer que se justifique por que os fluxos do rotational (curl) de
através dessas duas superfícies são iguais.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: o Teorema de Stokes.
O Teorema de Stokes (forma usual) afirma o seguinte. Se
é uma superfície orientável, lisa por partes, com borda orientada
, e
tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então vale
Aqui:
-
é o rotor (curl) de . -
é o vetor área com a normal escolhida para . -
é a curva fechada que é a fronteira de . - A orientação de
é dada pela regra da mão direita em relação à normal : se os dedos seguem , o polegar aponta para .
Explicando em palavras simples: o integral de superfície do curl transforma-se no integral de linha de
ao redor da curva de contorno; é a relação precisa entre circulação ao longo da borda e o “giro” interno da superfície.
Passo 3
Aplicando Stokes a
.
Como
é uma superfície suave com borda
, pelo Teorema de Stokes:
desde que escolhemos uma orientação para
e, consequentemente, a orientação correspondente para
pela regra da mão direita. Isso transforma o problema de calcular um fluxo de curl em calcular a circulação de
ao longo de
.
Passo 4
Aplicando Stokes a
.
De modo análogo,
é uma superfície suave com a mesma borda
. Pelo Teorema de Stokes:
desde que a orientação de
seja escolhida de modo que a orientação induzida em
seja a mesma que usamos em
. Note que a igualdade à direita é exatamente a mesma integral de linha obtida no passo anterior.
Passo 5
Concluindo a igualdade e comentando a orientação.
Como ambos os integrandos de superfície foram transformados na mesma integral de linha em
, obtemos
desde que as orientações das superfícies
e
sejam compatíveis (isto é, induzam a mesma orientação em
pela regra da mão direita). Essa compatibilidade de orientação é essencial; sem ela haveria um sinal menos em um dos lados. Na prática, escolhe-se as normais de
e
de forma que a orientação de
coincida.
Passo 6
Observação alternativa (opcional, interpretação por superfície fechada).
Outra maneira de ver o mesmo fato é considerar a superfície fechada
, onde
é
com a normal invertida. Para essa superfície fechada e suave, pelo Teorema da Divergência e pela propriedade
, tem-se
Desenvolvendo
como união de
e
obtemos
ou seja
que leva à mesma igualdade. Esta via usa a identidade
e o Teorema da Divergência em vez de Stokes diretamente, mas é conceitualmente o mesmo princípio: o curl não tem “fontes” e o fluxo total por uma superfície fechada é zero.