I. Dados um hemisfério H e uma parte P de um paraboloide, suponha que \mathbf{F} seja um campo vetorial sobre \mathbb{R}^{3} cujas componentes tenham derivadas parciais contínuas. Explique por que
\iint_{H} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}=\iint_{P} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\iint_{H} \nabla\times\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{P} \nabla\times\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
Informações dadas:
  • H é um hemisfério (superfície suave com uma borda fechada).
  • P é uma parte de um paraboloide cujo bordo é a mesma curva fechada que limita H.
  • As componentes de \mathbf{F} têm derivadas parciais contínuas (ou seja, \mathbf{F}\in C^{1}), condição necessária para usar os teoremas habituais.
  • A figura mostra que H e P têm uma mesma curva de fronteira fechada comum (uma circunferência), que chamaremos C=\partial H=\partial P.
O enunciado, portanto, quer que se justifique por que os fluxos do rotational (curl) de \mathbf{F} através dessas duas superfícies são iguais.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: o Teorema de Stokes.
O Teorema de Stokes (forma usual) afirma o seguinte. Se S é uma superfície orientável, lisa por partes, com borda orientada \partial S, e \mathbf{F} tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de S, então vale
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui:
  • \nabla\times\mathbf{F} é o rotor (curl) de \mathbf{F}.
  • d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS é o vetor área com \mathbf{n} a normal escolhida para S.
  • \partial S é a curva fechada que é a fronteira de S.
  • A orientação de \partial S é dada pela regra da mão direita em relação à normal \mathbf{n}: se os dedos seguem \partial S, o polegar aponta para \mathbf{n}.
Explicando em palavras simples: o integral de superfície do curl transforma-se no integral de linha de \mathbf{F} ao redor da curva de contorno; é a relação precisa entre circulação ao longo da borda e o “giro” interno da superfície.

Passo 3

Aplicando Stokes a H.
Como H é uma superfície suave com borda C, pelo Teorema de Stokes:
\iint_{H} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
desde que escolhemos uma orientação para H e, consequentemente, a orientação correspondente para C pela regra da mão direita. Isso transforma o problema de calcular um fluxo de curl em calcular a circulação de \mathbf{F} ao longo de C.

Passo 4

Aplicando Stokes a P.
De modo análogo, P é uma superfície suave com a mesma borda C. Pelo Teorema de Stokes:
\iint_{P} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
desde que a orientação de P seja escolhida de modo que a orientação induzida em C seja a mesma que usamos em H. Note que a igualdade à direita é exatamente a mesma integral de linha obtida no passo anterior.

Passo 5

Concluindo a igualdade e comentando a orientação.
Como ambos os integrandos de superfície foram transformados na mesma integral de linha em C, obtemos
\iint_{H} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{P} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S},
desde que as orientações das superfícies H e P sejam compatíveis (isto é, induzam a mesma orientação em C pela regra da mão direita). Essa compatibilidade de orientação é essencial; sem ela haveria um sinal menos em um dos lados. Na prática, escolhe-se as normais de H e P de forma que a orientação de C coincida.

Passo 6

Observação alternativa (opcional, interpretação por superfície fechada).
Outra maneira de ver o mesmo fato é considerar a superfície fechada S=H\cup(-P), onde -P é P com a normal invertida. Para essa superfície fechada e suave, pelo Teorema da Divergência e pela propriedade \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0, tem-se
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0.
Desenvolvendo S como união de H e -P obtemos
\iint_{H} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}+\iint_{-P} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0,
ou seja
\iint_{H} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}-\iint_{P} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0,
que leva à mesma igualdade. Esta via usa a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0 e o Teorema da Divergência em vez de Stokes diretamente, mas é conceitualmente o mesmo princípio: o curl não tem “fontes” e o fluxo total por uma superfície fechada é zero.

Resposta

\iint_{H} \nabla\times\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{P} \nabla\times\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

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