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Use o Teste da Comparacão (Probl. 10) para determinar se a integral integral1^infty x^3x^5+1 d x converge ou diverge.

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria integral1^infty x^3x^5+1,dx. O conteúdo é o teste de comparação para integrais impróprias, e vamos precisar comparar nossa função com uma mais simples cuja convergência conhecemos.

Passo 2

Para x>=1 vale x^5+1>= x^5. Assim
x^3x^5+1<=x^3x^5=1x^2

Passo 3

Sabemos que
integral1^infty1x^2,dx=limbtoinftyl[-1xr]1^b=1,
e essa integral converge (é um caso p-integral com p=2>1). Como nossa função original é não negativa e está sempre abaixo de uma função cuja integral converge, pelo teste da comparação concluímos que a integral dada também converge.

Resposta

A integral integral1^infty x^3x^5+1dx converge.

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