Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace inversa usando convolução.
F(s)=G(s)s^2+4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de transformada de Laplace inversa usando convolução. A equação que precisamos trabalhar é:
F(s) = G(s)s^2 + 4
Então, vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e convolução para encontrar a transformada inversa dessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de uma fração como essa pode ser encontrada utilizando a propriedade da convolução. A ideia é que a transformada inversa de um produto no espaço de Laplace corresponde à convolução das transformadas inversas individuais.

Passo 3

Vamos identificar as duas partes da nossa função:
  1. – que é uma função qualquer de .
  2. – que é uma função que conhecemos bem.
Precisamos encontrar as transformadas inversas dessas duas funções separadamente.

Passo 4

A transformada de Laplace inversa de L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a é uma função trigonométrica que conhecemos. Sabemos que:
L^-11s^2 + 4 = sin(2 t)2
No nosso caso, , então . Portanto,

Passo 5

Agora, vamos chamar a transformada inversa de L^-1G(s) = g(t) de . Então,

Passo 6

Segundo a propriedade da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Então,
L^-1F(s) = L^-1G(s)s^2 + 4 = g(t) * sin(2 t)2

Passo 7

A convolução (g * h)(t) = integral0^t g(tau) h(t - tau) dtau é definida como:
L^-1F(s) = integral0^t g(tau) cdot sin[2 (t - tau)]2 dtau
No nosso caso, , então:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de f(t) = integral0^t g(tau) cdot sin[2 (t - tau)]2 dtau usando convolução é:

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