Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace inversa usando convolução.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de transformada de Laplace inversa usando convolução. A equação que precisamos trabalhar é:
Então, vamos usar os conceitos de transformada de Laplace e convolução para encontrar a transformada inversa dessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de uma fração como essa pode ser encontrada utilizando a propriedade da convolução. A ideia é que a transformada inversa de um produto no espaço de Laplace corresponde à convolução das transformadas inversas individuais.
Passo 3
Vamos identificar as duas partes da nossa função:
-
– que é uma função qualquer de . -
– que é uma função que conhecemos bem.
Precisamos encontrar as transformadas inversas dessas duas funções separadamente.
Passo 4
A transformada de Laplace inversa de
é uma função trigonométrica que conhecemos. Sabemos que:
No nosso caso,
, então
. Portanto,
Passo 5
Agora, vamos chamar a transformada inversa de
de
. Então,
Passo 6
Segundo a propriedade da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Então,
Passo 7
A convolução
é definida como:
No nosso caso,
, então:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa de
usando convolução é: