Nos Problemas 6 e 7, esboce a região e encontre sua área (se a área for finita)
7. S=(x, y) mid x >= 0,0 <= y <= e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região S definida por x ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ e^{−3x}. Vamos usar cálculo de área por integração imprópria, integrando a função y = e^{−3x} de x=0 até x→∞.

Passo 2

Para esboçar, desenhamos o eixo x≥0 e a curva y = e^{−3x}, que começa em y(0)=1 e decai exponencialmente até zero. A região S fica sob essa curva, acima de y=0.

Passo 3

A área A de S é dada pela integral imprópria da função topo menos base, ou seja:
A = integral0^infty e^-3x,dx

Passo 4

Sabendo que uma antiderivada de e^{−3x} é −\tfrac{1}{3}e^{−3x}, avaliamos:
A = l[-tfrac13e^-3xr]0^infty = l(0 - (-tfrac13)r) = tfrac13

Resposta

A área de S é tfrac13.

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