Nos Problemas 6 e 7, esboce a região e encontre sua área (se a área for finita)
7.
7.
Passo 1
O enunciado pede o esboço e a área da região S definida por x ≥ 0 e 0 ≤ y ≤ e^{−3x}. Vamos usar cálculo de área por integração imprópria, integrando a função y = e^{−3x} de x=0 até x→∞.
Passo 2
Para esboçar, desenhamos o eixo x≥0 e a curva y = e^{−3x}, que começa em y(0)=1 e decai exponencialmente até zero. A região S fica sob essa curva, acima de y=0.
Passo 3
A área A de S é dada pela integral imprópria da função topo menos base, ou seja:
Passo 4
Sabendo que uma antiderivada de e^{−3x} é −\tfrac{1}{3}e^{−3x}, avaliamos:
Resposta
A área de S é
.