Calcule a seguinte integral:
integral 2 x^2-x+4x^3+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de 2x^2 - x + 4x^3 + 4x em relação a x. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Vamos precisar entender como fatorar polinômios e decompor frações racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^3 + 4x. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a divisão. Observamos que há um fator comum em x:
x^3 + 4x = x(x^2 + 4)
Então, a integral fica:
integral 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) , dx

Passo 3

Agora, queremos decompor a fração 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) em frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, assumimos que:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x^2 + 4) para eliminar os denominadores:
2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x
Simplificando o lado direito:
2x^2 - x + 4 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2x^2 - x + 4 = (A + B)x^2 + Cx + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 2 C = -1 4A = 4
Resolvendo essas equações:
  • Da terceira equação: 4A = 4 A = 1
  • Da primeira equação: 1 + B = 2 B = 1
  • Da segunda equação já temos C = -1

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, podemos reescrever a fração original:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = 1x + x - 1x^2 + 4
Agora, a integral fica:
integral ( 1x + x - 1x^2 + 4 ) dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integração de 1x:
integral 1x , dx = ln|x| + C1
  1. Integração de x - 1x^2 + 4:
Podemos separar essa fração:
integral xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx
  • Para integral xx^2 + 4 , dx, fazemos a substituição u = x^2 + 4, então du = 2x dx. Assim:
12 ln|x^2 + 4| + C2
  • Para integral 1x^2 + 4 , dx, reconhecemos a forma da integral que resulta em arco-tangente:
12 arctan( x2 ) + C3

Passo 8

Agora, juntando todas as partes integradas:
ln|x| + 12 ln|x^2 + 4| - 12 arctan( x2 ) + C
Onde C = C1 + C2 - C3 é a constante de integração.

Resposta

A integral de 2x^2 - x + 4x^3 + 4x em relação a x é:
ln|x| + 12 ln|x^2 + 4| - 12 arctan( x2 ) + C

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