Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Vamos precisar entender como fatorar polinômios e decompor frações racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a divisão. Observamos que há um fator comum em :
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, queremos decompor a fração em frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo essas equações:
Da terceira equação: 4A = 4 ⇒ A = 1
Da primeira equação: 1 + B = 2 ⇒ B = 1
Da segunda equação já temos C = -1
Passo 6
Com os valores de A, B e C encontrados, podemos reescrever a fração original:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = 1x + x - 1x^2 + 4
Agora, a integral fica:
integral ( 1x + x - 1x^2 + 4 ) dx
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integração de 1x:
integral 1x , dx = ln|x| + C1
Integração de x - 1x^2 + 4:
Podemos separar essa fração:
integral xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx
Para integral xx^2 + 4 , dx, fazemos a substituição u = x^2 + 4, então du = 2x dx. Assim:
12 ln|x^2 + 4| + C2
Para integral 1x^2 + 4 , dx, reconhecemos a forma da integral que resulta em arco-tangente:
12 arctan( x2 ) + C3
Passo 8
Agora, juntando todas as partes integradas:
ln|x| + 12 ln|x^2 + 4| - 12 arctan( x2 ) + C
Onde C = C1 + C2 - C3 é a constante de integração.
Resposta
A integral de 2x^2 - x + 4x^3 + 4x em relação a x é: