16- Quando lentes oculares de microscópios são testadas, a porcentagem de defeitos no longo prazo é igual a 5 \%. Em uma amostra aleatória de 25 unidades destas lentes, calcule a probabilidade de:
a) Exatamente 2 lentes apresentarem defeito.
b) No máximo 3 lentes apresentarem defeito.
c) Pelo menos uma lente apresentar defeito.
d) Calcule a E[X] e \operatorname{VAR}[X].

Passo 1

O enunciado dá que a porcentagem de lentes com defeito no longo prazo é \,5\%. Em uma amostra aleatória de 25 lentes, pede-se:
a) a probabilidade de exatamente 2 lentes com defeito;
b) a probabilidade de no máximo 3 lentes com defeito;
c) a probabilidade de pelo menos uma lente com defeito;
d) calcular \mathbb{E}[X] e \operatorname{VAR}[X].
Informações relevantes (resumindo em linguagem curtinha e direta):
\,n=25 (tamanho da amostra), \,p=0{,}05 (probabilidade de defeito para cada lente, assumindo independência). A variável aleatória de interesse é o número de lentes defeituosas na amostra; denote-a por \,X.

Passo 2

Modelo e fórmula que vamos usar (explicando bem devagarinho):
Quando contamos o número de sucessos (aqui: lentes com defeito) em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio, X tem distribuição binomial. A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} (lê-se “combinatório n sobre k”) é o número de maneiras distintas de escolher k ensaios que são sucessos entre n. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
  • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem os k sucessos específicos escolhidos,
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k ensaios restantes serem insucessos.
No nosso caso: n=25, p=0{,}05, (1-p)=0{,}95. Vamos aplicar essa fórmula para os itens.

Passo 3

(a) Calcular \mathbb{P}(X=2).
Aplicando a fórmula com k=2:
\mathbb{P}(X=2)=\binom{25}{2}(0{,}05)^{2}(0{,}95)^{23}.
Calculemos cada parte:
\binom{25}{2}=\frac{25\cdot 24}{2}=300,
(0{,}05)^{2}=0{,}0025,
(0{,}95)^{23}\\ \text{(valor aproximado; usamos exponenciação)}\approx 0{,}307545.çã
Agora multiplicar passo a passo:
300\cdot 0{,}0025 = 0{,}75,
0{,}75\cdot 0{,}307545 \approx 0{,}23065875.
Portanto
\mathbb{P}(X=2)\approx 0{,}2307.
Nota rápida sobre a aproximação de (0{,}95)^{23}: usei a identidade (0{,}95)^{23}=e^{23\ln(0{,}95)} e calculei numericamente \ln(0{,}95)\approx -0{,}051293, daí a aproximação acima. Em prova, se for permitido calculadora, basta calcular (0{,}95)^{23} direto; se não for, dá para usar tabela/exponenciação por quadrados.

Passo 4

(b) Calcular \mathbb{P}(X\le 3).
Isto é a soma das probabilidades de k=0,1,2,3:
\mathbb{P}(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{25}{k}(0{,}05)^{k}(0{,}95)^{25-k}.
Vamos calcular termo a termo (reaproveitando valores quando possível):
k = 0:
\mathbb{P}(X=0)=(0{,}95)^{25}\approx 0{,}277555.
k = 1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{25}{1}(0{,}05)(0{,}95)^{24}=25\cdot 0{,}05\cdot(0{,}95)^{24}.
Note que (0{,}95)^{24}=(0{,}95)^{25}/0{,}95. Logo
(0{,}95)^{24}\approx 0{,}277555/0{,}95\approx 0{,}292168,
25\cdot 0{,}05 =1{,}25,
\mathbb{P}(X=1)\approx 1{,}25\cdot 0{,}292168 \approx 0{,}365210.
k = 2: já calculado no passo anterior,
\mathbb{P}(X=2)\approx 0{,}230659.
k = 3:
\mathbb{P}(X=3)=\binom{25}{3}(0{,}05)^{3}(0{,}95)^{22}.
\binom{25}{3}=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{6}=2300,
(0{,}05)^{3}=0{,}000125,
2300\cdot 0{,}000125 = 0{,}2875,
(0{,}95)^{22}=(0{,}95)^{24}\cdot 0{,}95^{-2}\\ \text{(ou simplesmente }(0{,}95)^{23}/0{,}95\text{)}\approx 0{,}323726.
Multiplicando:
\mathbb{P}(X=3)\approx 0{,}2875\cdot 0{,}323726 \approx 0{,}093072.
Somando os quatro termos:
\mathbb{P}(X\le 3)\approx 0{,}277555 + 0{,}365210 + 0{,}230659 + 0{,}093072 \approx 0{,}966496.
Arredondando, \mathbb{P}(X\le 3)\approx 0{,}9665.
Dica prática para prova: quando p é pequeno e n moderado, a probabilidade de poucos sucessos costuma ser alta — por isso faz sentido o resultado grande aqui.

Passo 5

(c) Calcular \mathbb{P}(X\ge 1).
Usamos o complemento, que é a forma mais simples:
\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-(0{,}95)^{25}.
Usando o valor do passo anterior,
\mathbb{P}(X\ge 1)\approx 1-0{,}277555 \approx 0{,}722445.
Arredondando, \mathbb{P}(X\ge 1)\approx 0{,}7224.

Passo 6

(d) Calcular \mathbb{E}[X] e \operatorname{VAR}[X].
Fórmulas para a binomial (expliquei o porquê rapidamente): para X\sim\mathrm{Bin}(n,p),
\mathbb{E}[X]=n p,
\operatorname{VAR}[X]=n p(1-p).
Interpretação curta: \mathbb{E}[X] é o número médio esperado de defeitos se repetirmos a amostragem muitas vezes; a variância mede a dispersão em torno dessa média.
No nosso caso:
\mathbb{E}[X]=25\cdot 0{,}05 = 1{,}25,
\operatorname{VAR}[X]=25\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95 = 1{,}25\cdot 0{,}95 = 1{,}1875.
Pequena palavra de ânimo: beleza — isso era só aplicação direta da binomial. Se estiver com medo de cálculos de potência em prova sem calculadora, memorize a técnica de usar complementos e relações entre potências (por exemplo, dividir por 0{,}95 para reduzir o expoente) para facilitar.

Resposta

a) \mathbb{P}(X=2)\approx 0{,}2307
b) \mathbb{P}(X\le 3)\approx 0{,}9665
c) \mathbb{P}(X\ge 1)\approx 0{,}7224
d) \mathbb{E}[X]=1{,}25
\operatorname{VAR}[X]=1{,}1875

Exercícios relacionados