16- Quando lentes oculares de microscópios são testadas, a porcentagem de defeitos no longo prazo é igual a
. Em uma amostra aleatória de 25 unidades destas lentes, calcule a probabilidade de:
a) Exatamente 2 lentes apresentarem defeito.
b) No máximo 3 lentes apresentarem defeito.
c) Pelo menos uma lente apresentar defeito.
d) Calcule a
e
.
a) Exatamente 2 lentes apresentarem defeito.
b) No máximo 3 lentes apresentarem defeito.
c) Pelo menos uma lente apresentar defeito.
d) Calcule a
Passo 1
O enunciado dá que a porcentagem de lentes com defeito no longo prazo é
. Em uma amostra aleatória de
lentes, pede-se:
a) a probabilidade de exatamente lentes com defeito;
b) a probabilidade de no máximo lentes com defeito;
c) a probabilidade de pelo menos uma lente com defeito;
d) calcular e
.
a) a probabilidade de exatamente
b) a probabilidade de no máximo
c) a probabilidade de pelo menos uma lente com defeito;
d) calcular
Informações relevantes (resumindo em linguagem curtinha e direta):
(tamanho da amostra),
(probabilidade de defeito para cada lente, assumindo independência). A variável aleatória de interesse é o número de lentes defeituosas na amostra; denote-a por
.
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicando bem devagarinho):
Quando contamos o número de sucessos (aqui: lentes com defeito) em ensaios independentes com probabilidade
de sucesso em cada ensaio,
tem distribuição binomial. A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
Quando contamos o número de sucessos (aqui: lentes com defeito) em
onde:
-
(lê-se “combinatório n sobre k”) é o número de maneiras distintas de escolher ensaios que são sucessos entre . A fórmula é
-
é a probabilidade de ocorrerem os sucessos específicos escolhidos, -
é a probabilidade dos ensaios restantes serem insucessos.
No nosso caso:
,
,
. Vamos aplicar essa fórmula para os itens.
Passo 3
(a) Calcular
.
Aplicando a fórmula com
:
Calculemos cada parte:
Agora multiplicar passo a passo:
Portanto
Nota rápida sobre a aproximação de
: usei a identidade
e calculei numericamente
, daí a aproximação acima. Em prova, se for permitido calculadora, basta calcular
direto; se não for, dá para usar tabela/exponenciação por quadrados.
Passo 4
(b) Calcular
.
Isto é a soma das probabilidades de
:
Vamos calcular termo a termo (reaproveitando valores quando possível):
k = 0:
k = 1:
Note que
. Logo
k = 2: já calculado no passo anterior,
k = 3:
Multiplicando:
Somando os quatro termos:
Arredondando,
.
Dica prática para prova: quando
é pequeno e
moderado, a probabilidade de poucos sucessos costuma ser alta — por isso faz sentido o resultado grande aqui.
Passo 5
(c) Calcular
.
Usamos o complemento, que é a forma mais simples:
Usando o valor do passo anterior,
Arredondando,
.
Passo 6
(d) Calcular
e
.
Fórmulas para a binomial (expliquei o porquê rapidamente): para
,
Interpretação curta:
é o número médio esperado de defeitos se repetirmos a amostragem muitas vezes; a variância mede a dispersão em torno dessa média.
No nosso caso:
Pequena palavra de ânimo: beleza — isso era só aplicação direta da binomial. Se estiver com medo de cálculos de potência em prova sem calculadora, memorize a técnica de usar complementos e relações entre potências (por exemplo, dividir por
para reduzir o expoente) para facilitar.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)