(15.) (x^2+1) d yd x+x y-x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(x^2+1r)dydx+x,y - x=0
ou seja, é uma equação linear em y(x). Para resolver vamos colocá-la na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
e depois usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por l(x^2+1r) obtemos
dydx+xx^2+1,y=xx^2+1
Logo
P(x)=xx^2+1, Q(x)=xx^2+1

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral xx^2+1,dxr) =exp!l(tfrac12ln(x^2+1)r) =raizx^2+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
raizx^2+1,dydx +xraizx^2+1,y =xraizx^2+1
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,mu(x), pois
ddxl(yraizx^2+1r) =raizx^2+1,dydx +y,ddxl(raizx^2+1r) =raizx^2+1,dydx +xraizx^2+1,y

Passo 5

Assim chegamos a
ddxl(yraizx^2+1r) =xraizx^2+1
Integrando ambos os lados em relação a x:
yraizx^2+1 =integral xraizx^2+1,dx =raizx^2+1+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral
y(x) =raizx^2+1+Craizx^2+1 =1+ Craizx^2+1

Resposta

y(x)=1+Craizx^2+1

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