Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
(x^2-4) y^prime prime+x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de segunda ordem
(x^2-4),y''+x=0
Note que não aparece y' nem y de forma explícita na equação, só y''. Logo podemos isolar y'' e integrar duas vezes em relação a x.

Passo 2

Isolando y'' temos
y''=-xx^2-4

Passo 3

Integramos uma vez para obter y':
y'=integral y'',dx=integral -xx^2-4,dx
Fazendo a substituição u=x^2-4, du=2x,dx, vem
y'=-tfrac12integral2xx^2-4,dx=-tfrac12lnl|x^2-4r|+C1

Passo 4

Agora integramos
y=integral y',dx=integrall(-tfrac12lnl|x^2-4r|+C1r),dx+C2
Focando em integrallnl|x^2-4r|dx, usamos
integrallnl|x^2-a^2r|dx =xlnl|x^2-a^2r|-2integralx^2x^2-a^2,dx
com a=2. Após decompor x^2x^2-4=1+4x^2-4 e usar
integraldxx^2-4=tfrac14lnl|tfracx-2x+2r|, obtém-se
integrallnl|x^2-4r|dx =xlnl|x^2-4r|-2x-2lnl|x-2x+2r|+C

Passo 5

Substituindo em y e reorganizando constantes de integração ( C1,C2), chegamos à forma
y=-tfrac12l[xlnl|x^2-4r|-2x-2lnl|tfracx-2x+2r|r]+C1x+C2,
que simplifica para

Resposta

y=-x2lnl|x^2-4r|+ln!l|x-2x+2r|+C1x+C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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