Considere e . Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de em . Determine também os pontos onde estes valores são atingidos. Esboce os resultados graficamente. Resposta: mínimo e não admite máximo.
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos de
sujeito à restrição
ou seja, queremos minimizar e maximizar a distância ao quadrado do ponto até a origem, quando varia sobre a reta . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é adequado para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Definimos a função de restrição
O método de Lagrange exige resolver o sistema
Aqui
então o sistema fica
Passo 3
Da segunda equação vem 2y=2lambdaRightarrow y=lambda.
Da primeira, 2x=lambdaRightarrow x=tfraclambda2.
Substituindo na restrição:
Como f(x,y)=x^2+y^2 é função convexa e cresce indefinidamente longe da origem, o ponto l(tfrac15,tfrac25r) fornece o mínimo de f sobre a reta x+2y=1. Não existe máximo porque, andando ao longo da reta em direção a infinito, x^2+y^2to+infty.
Graficamente, as curvas de nível de f são círculos centrados na origem, e a reta x+2y=1 toca o menor desses círculos no ponto l(tfrac15,tfrac25r). Para círculos de raio maior, a reta sempre os corta em dois pontos, mostrando ausência de máximo.
Resposta
Mínimo: fl(tfrac15,tfrac25r)=tfrac15, atingido em l(tfrac15,tfrac25r).
Máximo: não existe.