Considere f(x, y)=x^2+y^2 e A=(x, y) in R^2 mid x+2 y=1. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A. Determine também os pontos onde estes valores são atingidos. Esboce os resultados graficamente. Resposta: mínimo f(1 / 5,2 / 5)=1 / 5 e f não admite máximo.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos de
f(x,y)=x^2+y^2
sujeito à restrição
x+2y=1,
ou seja, queremos minimizar e maximizar a distância ao quadrado do ponto (x,y) até a origem, quando (x,y) varia sobre a reta A. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é adequado para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Definimos a função de restrição
g(x,y)=x+2y-1=0
O método de Lagrange exige resolver o sistema
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y), g(x,y)=0
Aqui
nabla f(x,y)=(2x,,2y), nabla g(x,y)=(1,,2),
então o sistema fica
2x=lambda, 2y=2lambda, x+2y=1

Passo 3

Da segunda equação vem 2y=2lambdaRightarrow y=lambda.
Da primeira, 2x=lambdaRightarrow x=tfraclambda2.
Substituindo na restrição:
lambda2+2,lambda=1 Longrightarrow lambda2+2lambda=5lambda2=1 Longrightarrow lambda=25
Logo
x=lambda2=15, y=lambda=25,
e
f!l(tfrac15,tfrac25r) =l(tfrac15r)^2+l(tfrac25r)^2 =125+425 =525 =15

Passo 4

Como f(x,y)=x^2+y^2 é função convexa e cresce indefinidamente longe da origem, o ponto l(tfrac15,tfrac25r) fornece o mínimo de f sobre a reta x+2y=1. Não existe máximo porque, andando ao longo da reta em direção a infinito, x^2+y^2to+infty.
Graficamente, as curvas de nível de f são círculos centrados na origem, e a reta x+2y=1 toca o menor desses círculos no ponto l(tfrac15,tfrac25r). Para círculos de raio maior, a reta sempre os corta em dois pontos, mostrando ausência de máximo.

Resposta

Mínimo: fl(tfrac15,tfrac25r)=tfrac15, atingido em l(tfrac15,tfrac25r).
Máximo: não existe.

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